Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Andere benaderingen | Meetkunde | Cabri


Zie ook: "Kochansky's benadering"

Overzicht - Kochansky's benadering van p

  1. Inleiding
  2. Vooraf: Cabri's rekenmachine
         Opdracht 1
  3. De constructie van Kochansky
         Opdracht 2
  4. De berekening
         Opdracht 3
         Opdracht 4
  5. Download
  6. Referenties

1. Inleiding
De verhouding tussen de omtrek en de middellijn van de cirkel wordt gegeven door het getal p .
Dit getal is een zogenoemd trancendent getal (trancendente getallen zijn bijzondere reŽle getallen), hetgeen wil zeggen, dat het geen oplossing is van een vergelijking met gehele coŽfficiŽnten).
Daardoor is het niet mogelijk met passer en liniaal een lijnstuk te construeren waarvan de lengte gelijk is aan
p .
Door de eeuwen heen heeft men getracht benaderingsconstructies van
p te vinden, en de daarmee samenhangende vergelijkingen op te stellen.
In 1685 vond de Poolse jezuÔtenpater Adam Kochansky (hij leefde van 1635 tot 1700) een dergelijke constructie.
Deze constructie en de daarbij behorende vergelijking zijn onderwerp van dit Cabri-werkblad.

2. Vooraf: Cabri's rekenmachine
We kijken eerst eens hoe we de waarde van p direct met Cabri kunnen berekenen (eigenlijk is dat ook benaderen).

Opdracht 1

figuur 1 benpi31.gif (1103 bytes)

Merk op, dat de lengtes worden berekend met een bepaalde lengte-eenheid (de cm is de standaard eenheid van Cabri voor lengte).
Willen we nu de verhouding tussen PQ en de omtrek berekenen, dan zullen we een deling moeten uitvoeren.

figuur 2 benpi32.gif (2845 bytes)

In het edit-venster staat nu "a / b".

Als het goed is staat er nu een tekst als "Resultaat: 3,14" op het werkblad (zie nogmaals figuur 1, waarin "Resultaat:" is vervangen door "Pi =").

Opmerking
Het aantal decimalen van een getal kan worden vergroot of verkleind door het getal te selecteren (je ziet "Dit getal"), dan 1 keer klikken en daarna op de grijze [+] knop of op de grijze [-] knop te drukken (rechts op het toetsenbord).
[einde Opmerking]

3. De constructie van Kochansky

Opdracht 2

figuur 3 benpi33.gif (3044 bytes)

Je hebt nu Kochansky's benadering van p geconstrueerd.

cabrisignal.gif (160 bytes) Klik hier voor de pagina "Kochansky's benadering", waarop een animatie van de constructie staat met CabriJava.

4. De berekening
In figuur 4 zien we een (vergroot) stukje van figuur 3.

figuur 4 benpi34.gif (1846 bytes)

Opdracht 3

Stel nu de lengte van OP gelijk aan x.

Opdracht 4

Stellen we nu x = benpi35.gif (1079 bytes)

Dit is de vergelijking die bij de p -benadering van Kochansky hoort.

5. Download
Van dit werkblad is ook een versie in PDF-formaat beschikbaar:
pdf.gif (272 bytes) benpi3work.pdf [38Kb]

6. Referenties
[1] Klik hier voor de pagina "Kochansky's benadering" (met onder meer een benadering mbv. Maple4).
[2] Op de pagina "De oppervlakte van een cirkel" op deze website staan enkele links naar andere informatie over
p op het Internet.
[3] Zie verder ook de pagina "Benaderingen van
p" op deze website.


begin pagina

[benpi3work.htm] laatste wijziging op: 17-02-2002