Benadering van p volgens Kochansky

Inleiding  |  Met Maple   |  Meetkundig  |  Download  ][  Overzichtspagina | Meetkunde


Zie ook: Cabri-werkblad over Kochansky's benadering van p

0. Inleiding
De Poolse jezuzietenpater Adam Kochansky (1631-1700) heeft in 1685 een benadering van p gevonden.
Merkwaardig is, dat deze benadering niet vaak wordt genoemd in overzichten van de verschillende in de tijd gevonden benaderingen.
We geven onderstaand twee methodes voor Kochansky's benadering:

1. Methode met Maple
We gaan allereerst uit van de vergelijking 9x4 - 240x2 + 1492 = 0.
Het blijk dat n van de wortels van deze vergelijking een aardig nauwkeurige benadering van de waarde van p geeft.

> restart:
> verg := 9*x^4-240*x^2+1492=0;
verg := 9x4-240x2+1492 = 0
> oplossing := { solve(verg, x) };
oplossing := { 1/3(120 + 183), 
-1/3(120 + 183), 1/3(120 - 183), -1/3(120 - 183) }
> pi_kochansky := oplossing[3];
pi_kochansky := 1/3(120 - 183)
> evalf(",15);
3.14153333870509
> evalf(Pi-pi_kochansky);
.000059316

We vinden dus een benadering van p waarvan de fout kleiner is dan 10-4.

2. Meetkundige constructie
Met behulp van passer en liniaal is dezelfde benadering als in paragraaf 1 ook te construeren.

benpi3-f1.gif (2368 bytes) In de hiernaast staande figuur is een orthogonaal assenstel Oxy gedefinieerd.
Daarin is OA = AE = 1.
De cirkels met middelpunten O en A, beide met straal 1, snijden elkaar in het punt B.
De cirkel met middelpunt B en eveneens met straal 1 snijdt de cirkel met middelpunt O ook in het punt C.
De lijn AC snijdt de x-as in het punt D.
Het punt F ligt zo op de x-as, dat DF = 3.
Nu is
   EF = 1/3(120 - 183)
We vinden op deze manier dezelfde benadering voor p als in paragraaf 1.

Klik hier Animatie voor een animatie van de constructie met behulp van CabriJava.
Zie ook het Cabri-werkblad waarop deze benadering wordt behandeld.
Op dit werkblad wordt ook de equivalentie van de methoden in paragraaf 1 en paragraaf 2 behandeld.

3. Download
Het in paragraaf 1 gebruikte Maple werkblad (Maple R4) kan via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten [ZIP-formaat, ca. 1Kb].


begin pagina

[benpi3.htm] laatste wijzing op: 06-06-2000