De Newton-lijn (2)

Overzicht  ][  Newton-lijn (1) | Meetkunde


Overzicht terug

  1. Driehoek cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Van driehoek naar (volledige) vierhoek
         Stelling van Gauss-Bodenmiller
         Stelling van Steiner

Referenties


1. Driehoek terug

Stelling 1
Voor ieder punt op de zijde van een driehoek gaat de cirkel met de "bijbehorende" hoektransversaal als middellijn door het  voetpunt van de hoogtelijn op die zijde

Bewijs:

newton21.gif (3695 bytes) De cirkel op AX (met X op BC) is een Thales-cirkel. Het tweede snijpunt A' met BC is dus het voetpunt van de hoogtelijn uit A.

Een Gevolg van deze stelling vinden we in Stelling 2.

Stelling 2
De machtlijn van de cirkels op twee hoektransversalen van een driehoek gaat door het hoogtepunt van die driehoek.

Bewijs:

newton22.gif (4464 bytes) (verkort) De machten van het punt H ten opzichte van beide cirkels zijn gelijk.

Opmerking
Een volledig bewijs van Stelling 2 is te vinden op de pagina "De macht van een punt tov. een cirkel", als Stelling 8.
[einde Opmerking]

De in de Opmerking genoemde Stelling 8 staat hieronder als Stelling 3.

Stelling 3
Het hoogtepunt van een driehoek is het machtpunt van de drie cirkels op hoektransversalen door de hoekpunten van die driehoek.

Alternatief bewijs:

newton23.gif (4602 bytes) De cirkels van de cirkelbundel die door A en A' gaat (AA') is de machtlijn van die bundel), hebben alle een A-ceviaan (hoektransversaal) als middellijn. Twee van die cevianen zijn AB en AC. De cirkels op AB, AC en BC hebben twee aan twee de hoogtelijnen van ABC als machtlijn. H is dus hun machtpunt.
H is dus eveneens machtpunt voor elk drietal "ceviaan-cirkels".

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die Stelling 3 illustreert.

newton24.gif (5177 bytes) Opmerking
Of de cevianen al dan niet concurrent zijn, is dus in Stelling 3 niet van belang (zie de hiernaast staande figuur).
De eigenschap van Stelling 3 geldt dus onder meer voor de bijzondere lijnen in de driehoek (zoals bissectrices en zwaartelijnen) en voor andere concurrente cevianen.
[einde Opmerking]

2. Van driehoek naar (volledige) vierhoek terug

We bewijzen nu:

Stelling 4
Is de lijn XYZ een transversaal van driehoek ABC (X op BC, Y op CA, Z op AB), dan behoren de ceviaancirkels (AX), (BY), (CZ) tot dezelfde cirkelbundel.

Bewijs:

newton25.gif (5725 bytes) Allereerst merken we op, dat de hoogtepunten van de driehoeken ABC, AYZ, BZX, CXY niet samenvallen.
In Stelling 3 hebben we gezien, dat H (het hoogtepunt van ABC) het machtpunt is van de cirkels (AX), (BY), (CZ).
Bekijken we nu AYZ.
Op de zijden daarvan liggen de collineaire punten X, B, C. Het hoogtepunt van AYZ, HA, heeft (eveneens) gelijke machten tov. de cirkels (AX), (BY), (CZ). Dus, analoog redenerend voor de andere genoemde driehoeken, geldt dat de drie cirkels de hoogtepunten van de vier driehoeken als machtpunt hebben. Dit kan alleen maar als de machtlijnen die bedoelde machtpunten bepalen, samenvallen.
De hoogtepunten zijn dus collineair. Waaruit volgt, dat de centralen van de drie cirkels eveneens samenvallen zijn. De cirkels behoren dus tot de bundel die bepaald wordt door de gemeenschappelijke machtlijn en bijvoorbeeld de cirkel AA', waarbij A' het voetpunt is van de hoogtelijn uit A op BC.

Een direct gevolg van Stelling 4 is dan:

Stelling 5 terug
[5.1]
(Stelling van Gauss-Bodenmiller)
De cirkels op de diagonalen van een volledige vierhoek behoren tot dezelfde cirkelbundel.
De as van de bundel is de zogenoemde Newton-lijn van de volledige vierhoek.
[5.2] (Stelling van Steiner)
De hoogtepunten van de vier driehoeken van een volledige vierhoek liggen op de machtlijn van de cirkels op de diagonalen van die vierhoek.
De machtlijn is de zogenoemde Steiner-lijn van van de volledige vierhoek.

Bewijs:
[5.1] De middelpunten van de cirkels (AX), (BY), (CZ) zijn inderdaad de middens van de diagonalen van de volledige vierhoek BCYZ.
[5.2] Zie het bewijs van Stelling 4.

Opmerkingen
[1]
Ook de Stelling van Newton - de middens van de diagonalen van een (volledige) vierhoek zijn collineair, volgt uit Stelling 4.
Klik hier voor de Stelling van Newton.
[2]
Zie ook de pagina "Lijn van Simson, punt van Miquel en lijn van Steiner" in verband met Stelling 5.2.
Zie ook de pagina "Meer bijzonderheden van de Simson-lijn".
[einde Opmerkingen]

 

Referenties terug

Zie de pagina "De Newton-lijn van een vierhoek"


terug
[newton2.htm] laatste wijziging op: 22-aug-03