Generalisatie van de spiegeling: de centrale collineatie

Overzicht ][ Proj.Meetkunde | Meetkunde


0. Overzicht terug

  1. Puntspiegeling
  2. Loodrechte lijnspiegeling
  3. Scheve lijnspiegeling cabrisignal.gif (160 bytes)
  4. Centrale collineatie cabrisignal.gif (160 bytes)
  5. Generalisatie
  6. Andere eigenschappen van de centrale collineatie cabrisignal.gif (160 bytes)
  7. Constructies met Cabri (macro's)
  8. Download

1. Puntspiegeling terug

figuur 1

genspiegel1.gif (1239 bytes)

Zij O een vast punt in het vlak.
De puntspiegeling Po van een punt X met Po(X) = X’ wordt vastgelegd door
  • X’ op de lijn OX
  • XO = X’O

Eigenschappen
De eigenschappen van deze afbeelding zijn genoegzaam bekend. We noemen er enkele.

2. Loodrechte lijnspiegeling terug

figuur 2

genspiegel2.gif (1412 bytes)

Zij m een willekeurige rechte lijn in het vlak.
De loodrechte lijnspiegeling Lm van een punt X met Lm(X) = X’ in een lijn m wordt vastgelegd door
  • XX’ _|_ m met XX’ /\ m = Xm
  • XXm = X’Xm

Opmerking
De loodrechte lijnspiegeling wordt ook wel kortweg spiegeling genoemd.
[einde Opmerking]

Eigenschappen
Ook hier alleen een enkele:

3. Scheve lijnspiegeling terug
Zie hiervoor ook het Cabri-werkblad "Scheve lijnspiegeling"
Zie ook de pagina "Affiene afbeeldingen"

figuur 3

genspiegel3.gif (3392 bytes)

Zijn m en r twee willekeurige lijnen in het vlak waarbij r niet loodrecht staat op m.
We noemen in dit verband de scherpe hoek j tussen de lijnen m en r de richting van de spiegeling.

De scheve lijnspiegeling Sm[r] van een punt X met Sm[r](X) = X’ in de lijn m in de richting van een lijn r wordt vastgelegd door

  • XX’ // r met XX’ /\ m = Xm
  • XXm = X’Xm

Eigenschappen

Eerste bewijs (gedeeltelijk):

figuur 4

genspiegel4.gif (3469 bytes)

Zie hiervoor ook het Cabri-werkblad "Scheve lijnspiegeling".

De afstand van de punten X en X’ tot de lijn m zijn gelijk, waardoor driehoeken die twee hoekpunten op de lijn m hebben gelijke oppervlakte hebben (zie figuur hiernaast).

Daaruit volgt dan gemakkelijk het algemene geval. ¨

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Tweede bewijs (analytisch):

figuur 5

genspiegel5.gif (1592 bytes)

We gaan uit van een orthonormaal assenstelsel. De lijn m laten we samenvallen met de x-as.
De basisvectoren zijn dan e1 = (1,0) en e2 = (0,1).
Het beeld van e1 is (1,0). Zij Y’ het beeld van het eindpunt Y van e2. We hebben dan Y’ = (x, -1).
Voor P, het midden van OQ geldt dan OY/OP = tan j . Zodat uit OP = 1/tan j volgt:
   x = 2/tan j .

Voor de determinant van de afbeelding Sm[r] geldt dan:
genspiegelf1.gif (1338 bytes)
¨

figuur 6

genspiegel6.gif (1953 bytes)

  • Verhoudingen van lijnstukken (dubbelverhouding) zijn invariant.
  • Het beeld van een cirkel is een ellips (*).
    De asrichtingen van de ellips zijn vast. Deze zijn evenwijdig met de bissectrices van de hoeken tussen de lijnen m en r.
    Uit de invariantie van de dubbelverhouding volgt dat het middelpunt van de cirkel wordt afgebeeld op het middelpunt van de ellips.
    Uit de gelijkheid van de oppervlakte van de cirkel en de ellips volgt eenvoudig, dat R2 = ab, waarbij R de straal van de cirkel en a,b de lengtes zijn van de halve assen van de ellips.
    __________
    (*)
    Klik hier voor  het bewijs hiervan.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Opmerking
Indien de lijn r loodrecht staat op m, dan gaat de scheve lijnspiegeling over in de loodrechte lijnspiegeling.
Zie verder eventueel ook de pagina "Affiene afbeeldingen"
[einde Opmerking]

4. Centrale collineatie terug

figuur 7

genspiegel7.gif (2113 bytes)

O is een vast punt en m is een vaste lijn in het vlak.
Het beeld X’ van een punt X bij een centrale collineatie CO,m wordt vastgelegd door
   (OHXX’) = -1
waarbij H het snijpunt is van de lijn OX en de lijn m.
(OHXX’) is de dubbelverhouding genspiegelf2.gif (1101 bytes). Hierbij worden de lijnstukken van een teken voorzien (gerichte lijnstukken).

Nb. Dat (OHXX') = -1 is n i e t noodzakelijk voor een centrale collineatie. Ook als (OHXX') = k (met k constant), spreekt men van een centrale collineatie.
In hetgeen volgt, is steeds k = -1 (we spreken wel van een harmonische afbeelding).

Opmerking
Een centrale collineatie wordt ook wel perspectiviteit (of perspectieve afbeelding) genoemd.
[einde Opmerking]

Eigenschappen

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Stelling
Zij P en p pool en poolijn van een kegelsnede K.
Bij de centrale collineatie met centrum P en as p is K (niet-puntsgewijs) invariant

Bewijs:

figuur 8

genspiegel8.gif (2205 bytes)

Uit de definitie van poollijn van een punt tov. een kegelsnede volgt dat voor een punt X van K geldt:
   (PHxXX’) = -1
waarbij X’ het tweede snijpunt is van de lijn PX en de kegelsnede.
X wordt dus bij de centrale collineatie afgebeeld op X’. ¨

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie van deze stelling.

5. Generalisatie terug
[1]
Als O op l¥ (dit is de lijn op oneindig) ligt, dan gaat de centrale collineatie over in de scheve spiegeling.
Immers uit (OHXX’) = -1 volgt dan, dat H het midden is van het lijnstuk XX’ (voor ieder punt X).

figuur 9a

genspiegel7b.gif (4096 bytes)

In figuur 9a wordt een punt R¥ bepaald door de evenwijdige lijnen r.
Door identificatie van O met R¥ krijgen we dan figuur 9b.
Door identificatie van twee punten op m met twee punten op l¥ krijgen we figuur 9c.
figuur 9b

genspiegel7c.gif (3693 bytes)

figuur 9c

genspiegel7d.gif (3535 bytes)

[2]
Als m º l¥ , dan gaat de centrale collineatie over in de puntspiegeling met centrum O. Immers uit (OHXX’) = -1 volgt dan dat O het midden is van het lijnstuk XX’ (voor ieder punt X).

6. Andere eigenschappen van de centrale collineatie terug

Stelling
Een centrale collineatie beeldt een kegelsnede af op een kegelsnede.

Bewijs:

figuur 10

genspiegel9.gif (3922 bytes)

Een en ander volgt uit de projectieve eigenschappen van een kegelsnede, waardoor projectieve lijnenwaaiers door de centrale collineatie weer worden afgebeeld op waaiers met dezelfde eigenschappen. ¨

Gevolg
Bekijken we nu de vermenigvuldiging V met centrum O en factor ½.
De collineatie-as van de centrale collineatie wordt door V afgebeeld op een rechte lijn m’.
Deze lijn m’ speelt nu een rol om de beelden van de kegelsneden te onderscheiden in hun verschillende typen: ellips, parabool en hyperbool.
Immers de punten van de lijn m’ worden door de centrale collineatie afgebeeld op punten van l¥ (het beeld van m’ bij de centrale collineatie is l¥ ).

figuur 11a

genspiegel10.gif (2930 bytes)

figuur 11b

genspiegel10b.gif (2832 bytes)

figuur 11c

genspiegel10c.gif (3120 bytes)

In figuur 11a snijdt de lijn m’ de kegelsnede (in dit geval een cirkel) in twee verschillende punten. Het beeld van de cirkel is dus een hyperbool.
In figuur 11b raakt de lijn m’ aan de cirkel. Het beeld van de cirkel is een parabool.
In figuur 11c heeft de lijn m’ geen punten gemeen met de cirkel. Het beeld is een ellips.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Asymptoten van een hyperbool

figuur 12

genspiegel11.gif (5818 bytes)

In figuur 12 snijdt de kegelsnede (in dit geval weer een cirkel) de lijn m in twee punten A en B.
Het beeld is dus een hyperbool.
De beelden van de punten A en B liggen dus op l¥ .
De raaklijn in A (en B) wordt afgebeeld op de raaklijn in A¥ (en B¥ ). De beelden daarvan zijn dus de asymptoten van de hyperbool.
Echter, lijn (ic. de raaklijn in A) en beeldlijn (een asymptoot) snijden elkaar op m: het punt A".
De lijn door A" evenwijdig aan de lijn OA is dus een asymptoot.
De lijn door B" evenwijdig aan de lijn OB is eveneens een asymptoot van de hyperbool.

Een bijzonder geval
We laten het centrum O van de centrale collineatie samenvallen met het middelpunt van de cirkel.

figuur 13a

genspiegel12a.gif (3050 bytes)

In figuur 13a is de lijn TTm de raaklijn in T aan de cirkel.
De lijn T’Tm is dan raaklijn aan (in dit geval) de ellips (het beeld van de cirkel bij de centrale collineatie met centrum O).
Deze lijn snijdt de lijn m’ in het punt R.
Nu is dus hoek T’OR = 90° .
Het punt O is nu een brandpunt van de ellips; de lijn m’ is de daarbij behorende richtlijn.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie.

figuur 13b

genspiegel12b.gif (3839 bytes)

In figuur 13b is de situatie weergegeven voor een parabool (de lijn m’ raakt aan de cirkel).
Het punt Q (samen met het punt P snijpunten van de lijn OTm en de cirkel) heeft als beeld het punt Q’ (de top van de parabool).
figuur 13c

genspiegel12c.gif (4087 bytes)

In figuur 13c zien we de situatie voor een hyperbool.

7. Constructies met Cabri (macro's) terug
Met Cabri Geometry II kunnen we de meeste van in de bovenstaande paragrafen vermelde eigenschappen met constructies illustreren.
Een macro die van objecten het beeld bij een centrale collineatie geeft, beschrijven we hieronder (zie macro:CentrCollineatie). We gebruiken daarbij als basis de volgende macro.

macro:VierdeHarmonische

figuur 14a

genspiegel13.gif (2531 bytes)

We gaan uit van de (collineaire) punten A, B, C.
Construeer nu het punt D zo, dat (ABCD) = -1.
1. Lijn(B, C)
2. Cirkel(C, B)
3. Loodlijn(C, 1)
4. Snijpunt(3, 2) = P
5. Lijn(P, A)
6. EvenwijdigeLijn(B, 5)
7. Snijpunt(6, 3) = Q
8. Puntspiegeling(Q, B) = R

9. Lijn(P, R)
10. Snijpunt(1, 9) = D
Beginobjecten: A, B, C (in deze volgorde); eindobject: D.

Bewijs:
ACP ~ BCQ (hh), waaruit volgt: AP : BQ = AC : BC
en ook DPA ~ DRB (hh) waaruit volgt: PA : RB = DA : DB.
Dan is
(ABCD) = (CA/CB) : (DA/DB) = (AP/BQ) x (RB/PA) = -BQ / RB = -1. ¨

Gevolg

figuur 14b

genspiegel14b.gif (2332 bytes)

Als het punt A samenvalt met het oneigenlijke punt van de lijn BC, dan is B het midden van CD.
In figuur 14b is m een lijn evenwijdig met BC. A is het "snijpunt" van deze lijnen; zie de notatie A= (INF; 0.00).

Opmerking
In Cabri Geometry II wordt met "INF" een coördinaat aangeven van een (bestaand) punt op de oneigenlijke rechte).
[einde Opmerking]

[einde Gevolg]

macro:CentrCollPunt
Deze macro gebruiken we om snel het beeld van een punt bij een centrale collineatie te construeren (hier is ook k = -1).

figuur 15a

genspiegel15.gif (1520 bytes)

Constructiestappen
uitgaande van de gegeven objecten O, X en m (de collineatie-as):
1. Lijn(O, X)
2. Snijpunt(1, m) = Xm
3. macro:VierdeHarmonische(O, Xm, X) = Y
Beginobjecten: X, O (in deze volgorde), m; eindobject: Y.
.
figuur 15b
 
 
genspiegel15b.gif (1703 bytes)
figuur 15c

genspiegel15c.gif (1796 bytes)

Gevolg
Als X gelegen is op het beeld van de lijn m bij vermenigvuldiging met ½ tov. O, dan is Y het oneigenlijk punt van de lijn OX (zie figuur 15b en figuur 15c).
Dan is X het midden van het lijnstuk OXm.
[einde Gevolg]

Op basis van de macro:CentrCollPunt kunnen we nu de macro:CentrCollineatie definiëren waarmee van andere objecten (zoals lijnstuk, lijn, cirkel, kegelsnede) het beeld bij een centrale collineatie kan worden geconstrueerd.

macro:CentrCollineatie (alleen het beeld van een cirkel; hier is ook k = -1)

figuur 16
genspiegel16.gif (4243 bytes)
Constructiestappen uitgaande van het punt O (1), de lijn m (2) en een cirkel (middelpunt 3 en lijn 4):
5. Loodlijn(3, 2)
6. Loodlijn(3, 5)
7, 8. Snijpunt(5, 4), Snijpunt(6, 4)
9. Middelloodlijn(1, 8)
10. Loodlijn(3, 9)
11, 12. Snijpunten(9, 4)
13, 14. Snijpunten(10,14)
15. Middelloodlijn(7, 11)
16. Snijpunt(15, 4)
17. (geen nummer) macro:CentrCollPunt(16, O, m)
18, 19, 20, 21 … eveneens toegepast op de punten 11, 13, 14, 12
22. Kegelsnede(17, 18, 19, 20, 21)
Beginobjecten: cirkel, O, m;
eindobject: kegelsnede (in dit geval dus de hyperbool).

8. Download terug
De meeste figuren van deze pagina, de figuren die gebruikt zijn bij de CabriJavapplets, en de genoemde macro's zijn in één bestand te downloaden via deze website.
Klik hier om het downloadproces te starten (ZIP-bestand, ca. 38Kb).

Deze pagina is in een iets andere vorm ook beschikbaar als PDF-bestand.
Klik hier om dat bestand te downloaden (ca. 195Kb) / IE: Rechtsklikken voor menu.
Een PDF-bestand kan met Acrobat® Reader worden gelezen Get Acrobat ® Reader.


begin pagina

[genspiegel.htm] laatste wijziging op: 11-dec-08 (08-07-2001)