Afbeeldingen van het complexe vlak [1]

Overzicht  ][  Complex [2]  |  Julia-set  |  Mandelbrot-set  |  Fractalen   ][  Meetkunde

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

0. Overzicht

  1. Inleiding
  2. De functie z' = F(z)
  3. Toepassing op de Mandelbrot-verzameling
         3.1. Dekpunten
         3.2. Punten met een periode 2
  4. Constructies met Cabri
         4.1. Som, product, kwadraat cabrisignal.gif (160 bytes)
         4.2. Overige standaard afbeeldingen (op pagina "Complex [2]")
  5. Download

1. Inleiding
Een complex getal z wordt gedefinieerd door
   z = a + bi
waarin a en b rele getallen zijn.
Het getal i is vastgelegd met i 2 = -1.

complex1.gif (1871 bytes) We schrijven ook wel Z = (a ; b) waardoor het mogelijk is de complexe getallen te tekenen in een plat vlak waarin een rechthoekig assenstelsel is vastgelegd.
Het punt (0,1) wordt dan gedentificeerd met
   z = i = 0 + 1i.
De x-as wordt rele as genoemd; de y-as heet dan imaginare as.
Vaak wordt Z dan verbonden met O door de vector z.
Verder:
a = Re z ; het rele deel van z
b = Im z ; het imaginaire deel van z.

Een tweede manier om complexe getallen te representeren (met poolcordinaten) kan worden afgeleid uit het bovenstaande.

complex2.gif (1388 bytes) Uit nevenstaande figuur volgt:
   a = r cos f
   b = r sin f
zodat
z = r (cos f + i sin f)
r heet de absolute waarde van z (ook wel lengte) en f is het argument van z.

Uit de goniometrie volgt voor de vermenigvuldiging van twee complexe getallen
   c1 = r1 (cos a + i sin a)
   c2 = r2 (cos b + i sin b)

Bij de vermenigvuldiging worden dus de lengtes met elkaar vermenigvuldigd, terwijl de argumenten bij elkaar opgeteld worden.

Opmerking
Het bovenstaande is terug te vinden in het bewijs van de Formule (of Stelling) van De Moivre (Abraham de Moivre, 1667-1754, geboren in Vitry, Frankrijk).
Klik hier
voor het bewijs (PDF-bestand; ca 21Kb) van de formule .
[einde Opmerking]

2. De functie z' = F(z)
Voor complexe functies (evenals voor rele functies) geldt voor waarden van z in de buurt van z0:

   F(z) F(z0) + (z-z0)F'(z0)

We zien hieruit, dat de functie F lokaal is samengesteld uit een translatie en een vermenigvuldiging met factor |F'(z0)| (tenzij F'(z0) = 0).

Dekpunten
Bekijken we nu het iteratieve proces zn+1 = F(zn) met z als dekpunt van de functie z' = F(z), dan zien we als |F'(z)| < 1 de baan van z0 naar z wordt toegetrokken. Het evenwicht heet dan stabiel (ook wel aantrekkend).
Is |F'(z)| > 1, dan wordt de baan van z0 afgestoten. Het evenwicht heet dan instabiel (afstotend).
Is |F'(z)| = 1, dan kunnen we geen uitspraak doen over de baan.

3. Toepassing op de Mandelbrot-verzameling
We beschouwen de functie z' = z2 + c.
Deze functie bepaalt de Mandelbrot-verzameling en de Julia-verzamelingen.

3.1. Dekpunten
De dekpunten volgen uit z2 - z + c = 0
Deze vergelijking heeft twee complexe wortels z1 en z2.
Uit de vergelijking volgt dat z1 + z2 = 1. Het midden van het lijnstuk tussen de beide wortels is dus het punt  ( ; 0).
Uit |F'(z)| = |2z|  volgt dat de stabiliteit afhangt van |2z|.

complex3.gif (1130 bytes) We kunnen nu in ieder geval stellen, dat voor n van beide wortels, zeg z2, geldt, dat |z2| > .
Het evenwicht voor z2 is dus instabiel.
Oplossing van de vergelijking geeft dan z1 = - ( - c).
Dus |z1| < .
Het andere dekpunt, z1, ligt dus binnen de cirkel met middelpunt O en straal .
Zodat we hier te maken hebben met een stabiel evenwicht.

3.2. Punten met een periode 2 (2-cyclus)
Voor een waarde van c die een 2-cyclus geeft, hebben we
   w = z2 + c
   z = w2 + c
Hieruit volgt eenvoudig
   w + z = -1
   wz = c + 1
Nu is |wz| = |w| |z| < . = .
Dus | c + 1 | < .
Dit betekent, dat c binnen een cirkel met middelpunt (-1 ; 0) en straal ligt.

mandelblack.gif (3351 bytes) De punten binnen die cirkel hebben dus alle een periode 2.
Waarmee we de periode van de grote M-bol in de Mandelbrot-verzameling hebben aangetoond (zie figuur hiernaast).

Zie ook Paragraaf 3 (M-bollen) op de pagina "Mandelbrot-verzameling".

Hierboven (zie Paragraaf 3, 3.1. Dekpunten) vonden we dat de waarde z1 = - ( - c) aanleiding gaf tot stabiele evenwichten.
Op de rand van de M-verzameling geldt dus: |2z1| = 1, zodat we kunnen stellen
   2z1 = cos f + i sin f
Subsitutie hiervan in 2z1 = 1 - (1 - 4c) geeft dan:

      complex4.gif (1692 bytes)

Voor f met waarden tussen 0 en 2p krijgen we hiermee de cardiode die de begrenzing van het "niervormig" gedeelte van de Mandelbrot-verzameling bepaalt.

4. Constructies met Cabri

4.1. Som, product, kwadraat
Hieronder geven we de constructiebeschrijving voor de som, het product en de kwadratering van complexe getallen in het programma Cabri Geometry II.

som         csom.gif (656 bytes)                  Gegeven:
  complexe getallen a en b en het punt O
Te construeren:
  a + b
Constructie:
  M = Midden(a, b)
  a + b = Puntspiegeling(O,M)
Klik hier Anmatievoor een animatie van de constructie.
product    cproduct.gif (2432 bytes) Gegeven:
  complexe getallen a en b en de punten O en E
Te construeren:
  ab
Constructie:
  L1 = Lijn(O, E)
  R1 = Halve lijn(O, E)
  L2 = Loodlijn(O, L1)
  Ca = Cirkel(O, a)
  Cb = Cirkel(O, b)
  |b| = Snijpunt(R1, Cb)
  z = Snijpunt(L2, Ca)
  L3 = Evenwijdige lijn(|b|, Lijnstuk(E, Z))
  y = Snijpunt(L2, L3)
  Cab = Cirkel(O, y)
  L4 = Deellijn(hoek aOE)
  x = Spiegeling(b, L1)
  w = Spiegeling(x, L4)
  R3 = Halve lijn(O, w)
  ab = Snijpunt(Cab, R3)

Klik hier Animatievoor een animatie van de constructie.

Voor de constructie van het kwadraat van een complex getal kunnen we in Cabri geen gebruik maken van een macro die op bovenstaande constructie gebaseerd is.
We geven daarom de constructie die uitgaat van twee samengevallen (complexe) punten a en b.

kwadraat ckwad.gif (1899 bytes) Gegeven:
  complex getal a en de punten O en E
Te construeren:
  a2
Constructie:
De constructie verloopt geheel analoog aan die voor het product van twee getallen a en b, waarbij b samenvalt met a.

Klik hier Animatievoor een animatie van de constructie.

Beide constructies, "som" en "kwadraat", kunnen we nu gebruiken om punten uit de Z-baan bij een willekeurig complex getal C te tekenen.
Voor de functie z' = z2 + C hebben we dus de baan:

     0 C C2 + C (C2 + C)2 + C ....

complex5.gif (1111 bytes) Hiernaast zijn de punten z1, z2, z3 uit de baan voor het complexe getal C getekend.

Klik hier Animatievoor een animatie.

4.2. Overige standaard afbeeldingen
Tot de standaard afbeeldingen van het het complexe vlak op zich zelf behoren, naast som, product en kwadraat (die hierboven behandeld zijn), verder

Klik hier voor een beschrijving van deze afbeeldingen op de pagina "Complex [2]".
Op deze pagina staan verder enkele toepassingen van afbeeldingen van het complexe vlak op zichzelf.

5. Download
De hierboven behandelde figuren kunnen ook als n bestand via deze website worden gedownload.
Dit bestand bevat ook de macro's die op de constructies van "som", "product" en "kwadraat" zijn gebaseerd, alsmede een figuur waarin Z-banen (bij de Mandelbrot-verzameling) worden getekend.
Klik hier om het downloaden te starten [13Kb, ZIP-formaat].


 begin pagina

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

[complex.htm] laatste wijziging op: 01-02-2004