Bewegingen in het platte vlak

Congruente figuren |  Inleiding | Stellingen
Gelijkvormige figuren   |  Inleiding | Invariantie | Constructies | Conclusies  ][  Meetkunde

Zie ook de pagina "Rotaties"
Zie ook de pagina "Gelijkvormigheid (van drie figuren)"

Opmerking
Op deze pagina wordt met h(XYZ) bedoeld de hoek gevord door de lijnstukken XY en ZY (hoekpunt Y).
[einde Opmerking]

1. Bewegingen van congruente figuren terug
1.1. Inleiding terug
Zijn F en F' twee direct congruente figuren (ze hebben dezelfde orintatie) in het platte vlak, dan kunnen deze figuren door middel van rotatie en/of translatie samenvallen.
We beschouwen in hetgeen volgt de tussenliggende stappen die de figuur F doen samenvallen met de figuur F'.
We kunnen dit bij een "oneindig" aantal stappen opvatten als een beweging.

1.2. Twee stellingen terug
Zij F een figuur (bijvoorbeeld een driehoek) die wordt geroteerd om een punt O; dat wil zeggen, dat de figuur beweegt rond een punt O, dat tot de figuur behoort, maar zelf invariant is (zie figuur 1).

figuur 1      figuur 2

In dit geval beschrijft elk punt van F een cirkel met middelpunt O (omdat de afstand OA constant blijft); elke lijn l van F is f steeds rakend aan een vaste cirkel met centrum O f gaat steeds door O (omdat de afstand van O tot l constant blijft).
Het punt O is centrum van een rotatie voor elk tweetal posities van F.

Klik hier Animatie voor een animatie van figuur 1.

Beschouwen we vervolgens een translatie van een figuur in een bepaalde richting, nl. die van een gegeven lijn p (zie figuur 2). Bij deze beweging is de lijn p (niet-puntsgewijs) invariant; hij beweegt langs zichzelf). Elk punt B van de figuur beschrijft een lijn evenwijdig aan p (omdat de afstand van B tot P constant is). Elke lijn m die niet evenwijdig is aan p beweegt zo, dat deze evenwijdig is met de lijn in de uitgangspositie (omdat de hoek tussen m en p constant is). Elke lijn q evenwijdig aan p is (niet-puntsgewijs) invariant (omdat de afstand van q tot p constant is).
Bij elk tweetal posities van de figuur F hoort dus een translatie in de richting van p.

Als een figuur F zo beweegt, dat twee evenwijdige lijnen p en q steeds door twee punten A en B (A op p, en B op q) gaan, dan is p (niet-puntsgewijs) invariant (omdat de hoek tussen AB en p constant is.
Ook hier hebben we dus te maken met een translatie (zie hierboven, en zie figuur 2).

Het wordt wat gecompliceerder als we twee niet-evenwijdige lijnen p en q beschouwen die steeds door twee gegeven punten A (op p) en B (op q) gaan.
Voor dit geval bewijzen we de volgende

Stelling 1
Als een figuur F zo wordt bewogen in een vlak, dat twee gegeven niet-evenwijdige lijnen  p  en  q  van F steeds door twee vaste punten A en B gaan, dan geldt voor elke andere lijn van F f dat deze steeds gaat door een ander vast punt van F, f dat deze steeds raakt aan een cirkel in het vlak.

Bewijs: (zie figuur 3)
We gaan uit van de figuren F en F1, die we voor de duidelijkheid niet in figuur 3 hebben getekend. Zijn O en O1 de snijpunten van de lijnen p en q en van p1 en q1. De punten O en O1 liggen op een cirkelboog van de cirkel, S, die de meetkundige plaats is van de punten waaronder de koorde AB onder de hoek tussen p en q wordt gezien.

figuur 3 Zijn nu l en l1 twee posities van een lijn l die door O gaat. Stel nu M en M1 zijn de snijpunten van l met de cirkel S.

Omdat h(MOA) = h(M1O1A) (omdat de hoek tussen l en p constant is), blijkt dat bg(AM) = bg(AM1). En dit wil zeggen, dat M=M1. We hebben dus laten zien, dat alle posities van de lijn l door M gaan.

Zij nu m een lijn die niet door O gaat. Trekken we nu een lijn l door O evenwijdig aan m, dan weten we dat alle posities van deze lijn l door het punt M gaan. Omdat de afstand tussen de lijnen m en l niet verandert, moeten alle posities van de lijn m raken aan een cirkel met middelpunt M en met een straal die gelijk is aan de afstand van l en m.

Hiermee is de stelling bewezen.

Kilk hier Animatie voor een animatie van figuur 3.

Gevolg
We bekijken nu een gevolg van bovenstaande stelling.

figuur 4 Stel dat de figuur F zo in het vlak beweegt dat twee niet evenwijdige lijnen m en n van de figuur steeds raken aan twee gegeven cirkels S1 en S2 (zie figuur 4, waarin we weer voor de duidelijkheid de figuur F zelf hebben weggelaten). De lijnen p en q die evenwijdig zijn met m en n gaan door de middelpunten A en B van deze cirkels.
De afstand tussen m en p is gelijk aan de straal van S1; de afstand tussen n en q is gelijk aan de straal van cirkel S2. Omdat die afstanden tijdens de beweging niet veranderen, gaat de lijn p steeds door het vaste punt A. Evenzo vinden we dat de lijn q steeds door het vaste punt B gaat.
We kunnen nu stelling 1 toepassen; we zien dat bij een dergelijke beweging elke lijn van F f steeds raakt aan een vaste cirkel, f steeds gaat door een gegeven vast punt.

[einde Gevolg]

Als de figuur F zo in het vlak beweegt, dat twee punten A en B van de figuur evenwijdige lijnen p en q beschrijven, dan zijn alle posities van het lijnstuk AB aan elkaar evenwijdig (omdat de hoek tussen AB en p niet verandert). Elke twee posities van F kan kunnen dus uit elkaar ontstaan door een translatie in de richting van de lijn p. We hebben dus te maken met een translatie van de figuur die we reeds eerder bekeken hebben (zie figuur 2).

De situatie wordt ingewikkelder als de eindpunten van een lijnstuk AB van de figuur bewegen op twee niet evenwijdige (dus elkaar snijdende) lijnen. In dit geval bewijzen we de volgende stelling.

Stelling 2
Als een figuur F zo in een vlak beweegt dat twee punten A en B in dat vlak lijnen p en q beschrijven die elkaar snijden in het punt O, dan bestaat er een cirkel S, gekoppeld aan figuur F, waarvan elk punt een lijn beschrijft die door O gaat.
.
figuur 5 Bewijs: (zie figuur 5) Zijn F en F1 twee posities van de figuur F (in de figuur zijn beide wederom niet getekend). AB enA1B1 zijn de bij behorende standen van het in de stelling bedoelde lijnstuk. We bekijken nu de cirkel S door O, A en B. Deze cirkel hoort bij de positie van F. De bij de positie van F1 behorende cirkel is S1. Duidelijk is, dat ook S1 door het punt O gaat (omdat bg(AB) van S gelijk is aan bg(A1B1) van S1; deze hoek is in beide gevallen gelijk aan 2h(AOB).

Zij nu M een punt van cirkel S en M1 het bijbehorende punt van cirkel S1. Uit de congruentie van F en F1 volgt nu onmiddellijk dat bg(AM) = bg(A1M1).

Dit betekent dat de ingeschreven hoeken op die bogen ook gelijk zijn: h(AOM) = h(A1OM1). En hieruit volgt nu, dat de lijnen OM en OM1 samenvallen. Gevolg: elk punt M op de omtrek van S beweegt over een lijn door O. En dit moest bewezen worden.
Merk op dat het middelpunt N van S beweegt langs een cirkel met middelpunt O. Dit volgt uit het feit, dat alle cirkels S, waarvan de straal dus constant is, door het punt O gaan.

Klik hier Animatie voor een animatie van figuur 5.

2. Bewegingen van gelijkvormige figuren terug
2.1. Inleiding terug
Figuren F en F1 heten direct gelijkvormig, als figuur F1 uit figuur F ontstaat door een vermenigvuldiging ten opzichte van een punt O (het centrum van de vermenigvuldiging) met een getal k 0 (de vermenigvuldigingsfactor).

Figuren F1 en F' heten rotatiecongruent als F' uit F1 ontstaat door een rotatie om een punt (het centrum van de rotatie) over een bepaalde hoek (de rotatiehoek).

We kunnen nu de som (de volgorde is onbelangrijk) van beide operaties uitvoeren. Een dergelijke meetkundige afbeelding heet draaivermenigvuldiging (zie figuur 6).

figuur 6 De figuren F en F' noemen we draaigelijkvormig. Uit het bovenstaande volgt direct dat ook de omgekeerde bewerking een draaivermenigvuldiging is: de figuur F kan uit F' ontstaan door opvolgend een rotatie over de hoek - en een vermenigvuldiging met het getal 1/k (beide ten opzichte van het punt O).

Ook nu kunnen we de alle tussenliggende stappen beschouwen die figuur F doen overgaan in figuur F'

Ook nu zullen we spreken van een beweging. Bij deze beweging verandert de vorm van de figuur niet, echter wel de afstanden tussen punten van de figuur (er is dus nog steeds sprake van gelijkvormigheid). Spreken we in hetgeen volgt over "bewegen", dan bedoelen we in beweging op deze manier.

Zie de paragraaf Constructies voor eenvoudige constructies bij een draaivermenigvuldiging.
Zie de pagina "Draaivermenigvuldiging" voor verdere eigenschappen van deze afbeelding.

2.2. Invariantie terug
Het zal blijken, dat bij bewegingen van gelijkvormige figuren invariante punten en lijnen een belanfrijke rol spelen.

Stelling 3
Beweegt een figuur F zo, dat een punt O van F invariant is, en is F' het beeld van F, waarbij F en F' gelijkvormig zijn, dan zijn F en F' of (1) congruent of (2) direct gelijkvormig congruent of (3) draaigelijkvormig.

Bewijs:
(1) Is A een punt van F dat bij de beweging een cirkel met middelpunt O beschrijft, dan is verandert de afstand tussen O en A dus niet. In dit geval beschrijven dus alle punten van F een cirkel. We hebben dus te maken met een rotatie. Dus F is congruent met F' (zie figuur 1).

figuur 7     figuur 8

(2) (zie figuur 7) Beschrijft het punt A een lijn door O, dan beschrijft elk ander punt B eveneens een lijn door O (omdat de hoek BOA niet verandert, vanwege de gelijkvormigheid van de figuren F en F'). Bij een dergelijke beweging kan F' dus steeds teruggebracht worden naar zijn oorspronkelijke positie door een vermenigvuldiging met centrum O. F en F' zijn dus direct gelijkvormig.

(3) (zie figuur 8) We gaan er nu van uit, dat bij een dergelijke beweging een punt A van de figuur F een willekeurige kromme G (bijvoorbeeld een cirkel of cirkelboog) beschrijft. We tonen nu aan, dat elk ander punt B (met uitzondering van het punt O) een met G gelijkvormige kromme G' beschrijft. Zij F de figuur in de oorspronkelijke positie en F' een andere positie van F. A, B, A', B' zijn overeenkomstige posities van punten van F en F'. Omdat er sprake is van gelijkvormigheid, geldt OAB ~ OA'B'. Dus h(B'OA') = h(BOA) = en OB'/OA' = OB/OA = k. Er is nu sprake van draaivermenigvuldiging met factor k over hoek en centrum O, waarbij B' wordt afgebeeld op A'. Omdat F' een willekeurige positie is van de figuur, betekent dit, dat deze draaivermenigvuldiging de kromme G', beschreven door het punt B, afbeeldt op de kromme G, beschreven door het punt A. Maar als twee krommen op elkaar kunnen worden afgebeeld met een draaivermenigvuldiging, dan zijn ze gelijkvormig.

Stelling 4
Als een lijn  m  van een figuur F, die niet door O gaat, raakt aan een kromme G, dan raakt elke andere lijn  n  van F aan een kromme G' die gelijkvormig is met G.

Bewijs: (zie figuur 8)
Zoals uit stelling 3 blijkt, is de kromme G' het beeld van de kromme G bij een draaivermenigvuldiging met centrum O, waarbij m op n wordt afgebeeld.

2.3. Constructies terug

figuur 9 We laten nu zien hoe we het centrum van draaivermenigvuldiging O kunnen construeren bij gegeven lijnstukken AB en A'B'.

(1) Als de lijnstukken evenwijdig zijn is er sprake van directe gelijkvormigheid. In dit geval is O het snijpunt van de lijnen AA' en BB' (zie figuur 9).

figuur 10a figuur 10b

(2) Is de hoek tussen de lijnstukken geen veelvoud van 180o, dan kiezen we het punt P als snijpunt van de lijnen AB en A'B' (zie figuur 10). De omgeschreven cirkels van AA'P en BB'P gaan door het gezochte rotatiecentrum (niet zijnde het punt P). Dit laatste vraagt echter wel degelijk een
Bewijs.
h(AOA') = h(APA'), omtrekshoeken op dezelfde cirkel; de rotatiehoek AOA' is dus gelijk aan de hoek tussen de lijnstukken AB en A'B'.
h(BOB') = h(PBB'), omtrekshoeken op dezelfde cirkel; de rotatiehoek BOB' is dus eveneens gelijk aan de hoek tussen AB en A'B'. Hieruit volgt dus eenvoudig, dat
h(AOB) = h(A'OB'). O is dus het gezochte rotatiecentrum.

Als de beide cirkels elkaar raken in P (zie figuur 10b), dwz. als h(PAA') = h(PBB') -deze hoeken zijn beide gelijk aan de hoek tussen de lijn PB'A' en de gemeenschappelijke raaklijn in P, dan valt O met P samen. Immers, wegens de gelijkvormigheid geldt PA'/PA = PB'/PB.

Gevolg
Het centrum van de draaivermenigvuldiging die AB overvoert in A'B' valt samen met het centrum van draaivermenigvuldiging, die AA' overvoert in BB'. We hebben immers:
h(AOA') = h(BOB') = a; OA'/OA = OB'/OB = k, waaruit volgt
h(AOB) = h(A'OB'), zie figuur 10c, waarin b =  a + h(A'OB) en OA/OB = OA'/OB' = l.

figuur 10c Hieruit volgt, dat het centrum O eveneens gevonden kan worden als het (tweede) snijpunt van de cirkels beschreven rond de driehoeken ABQ en A'B'Q, waarbij Q het snijpunt is van de lijnen AA' en BB' (of als het snijpunt van AB en A'B', in het geval dat AA'//BB').

[einde Gevolg]

2.4. Conclusies terug
We geven nu twee belangrijke stellingen die betrekking hebben op bewegingen die het gevolg zijn van draaivermenigvuldigingen.

Stelling 5
Als een figuur F onderhevig is aan een gelijkvormige beweging en wel zo, dat drie punten A, B, C van F drie lijnen beschrijven (die geen gemeenschappelijk punt hebben), dan beschrijft elke lijn van F een rechte lijn.

Stelling 6
Als een figuur F onderhevig is aan een gelijkvormige beweging, waarbij drie lijnen l, m en n van F, die geen gemeenschappelijk punt hebben, steeds door drie vaste punten gaan, dan gaat elke lijn van F steeds door een vast punt, en beschrijft elk punt van F een cirkel.

Bewijs van stelling 5: (zie figuur 11)
We zullen aantonen, dat elke twee posities van F hetzelfde centrum van rotatie O hebben (dit betekent, dat een punt van F invariant is onder de beweging). Hieruit zal dan volgen, dat alle punten van F kromme lijnen beschrijven die gelijkvormig zijn aan de kromme die beschreven wordt door het punt A; dus rechte lijnen.

figuur 11 De lijnen waarlangs A, B, C zich bewegen snijden elkaar in P, Q, R. Zijn F en F' twee posities van de beschouwde figuur, waartoe opvolgend de punten A,B,C en A',B',C' behoren. Het centrum van rotatie O van F en F' is hetzelfde als het rotatiecentrum van de lijnstukken AB, A'B' en AC, A'C'.

Zoals we hierboven (in de paragraaf Constructies) hebben gezien, ligt het centrum van de rotatie van de lijnstukken AB en A'B' op de omgeschreven cirkels van ABQ en A'B'Q, waarbij Q het snijpunt is van AA' en BB'.

In dit geval houdt dit in, dat O moet liggen op de omgeschreven cirkel van ABP (en die van A'B'P). Op dezelfde manier kunnen we aantonen dat O moet liggen op de omgeschreven cirkel van ACQ (bij beschouwing van de lijnstukken AC en A'C').
Het rotatiecentrum van de figuren F en F' is dus bepaald als snijpunt van de omgeschreven cirkels van ABP en ACQ. en hangt dus niet af van de positie van de figuur F'. Maar dit betekent, dat elk tweetal posities van F hetzelfde rotatiecentrum hebben.

Opmerking

figuur 12 Als de lijnen die beschreven worden door de punten A,B,C door een gemeenschappelijk punt P gaan (zie figuur 12), dan blijft de bewering van de stelling in het algemeen geldig. Het bewijs verschilt dan niet van het hierboven staande. Het gemeenschappelijk gelijkvormigheidspunt voor alle posities van F moet dan in ieder geval samenvallen met de omgeschreven cirkels van ABP en BCP; en dat is het punt P.

De enige uitzondering hierop vinden we als de cirkels ABP en BCP samenvallen. Dit is het geval, als A,B,C samen met P op dezelfde cirkel liggen., of, wat hetzelfde is, als
h(APB) + h(ACB) = 180o

en daarbij de punten P en C aan verschillende kant van AB ligt, en ook als
h(APB) = h(ACB)
en daarbij P en C aan dezelfde kant liggen van AB.
In deze gevallen behoeft de stelling niet juist te zijn.
[einde Opmerking]

Bewijs van stelling 6:
We tonen aan, dat elk tweetal posities van de figuur F hetzelfde rotatiecentrum O hebben, en dat een willekeurig punt A van F een cirkel beschrijft. Daaruit volgt dan volgens stelling 3, dat elke lijn van F steeds door een bepaald vast punt gaat (omdat l door een vast punt gaat) en dat elk punt van F een cirkel beschrijft (omdat A een cirkel beschrijft).

We noemen de snijpunten van lmn opvolgend A, B en C en geven de punten waardoor deze lijnen gaan, aan met P, Q en R (zie figuur 13).

figuur 13 Het is direct duidelijk, dat A een cirkel beschrijft, omdat de grootte van de hoek QAP bewaard moet blijven tijdens de beweging. (De hoeken tussen de lijnen l, m, n blijven eveneens onveranderd wegens de gelijkvormigheid).

Zijn nu F en F' twee verschillende posities van de figuur, waarbij l, m, n en 1', m', n' de overeenkomstige lijnen van die figuren zijn. Zij A,B,C en A',B',C' de betreffende punten van F en F'. Als O het centrum is van de rotatie, dan is hoek AOA' de hoek van de draaivermenigvuldiging en deze is dus gelijk aan de hoek tussen l en l' (en tussen m en m').

Dus h(AOA') = h(APA') = h(AQA'), hetgeen wil zeggen, dat O ligt op de cirkel door B, B', P en R. Hieruit volgt, dat het rotatiecentrum O het snijpunt is van de omgeschreven cirkels van APQ en BRR. Dit centrum is dus niet afhankelijk van de specifieke positie van F'. Daaruit volgt dus, dat elke twee posities van F hetzelfde rotatiecentrum hebben.


De figuren op deze pagina zijn gemaakt met Cabri Geometry II.

begin pagina

[bewegingen.htm] laatste wijziging op: 12-08-2002