Algemene cissoiden

Algemene cisso�den

Overzicht ][ Cisso�de van Diokles | Meetkunde | Analyse

0. Overzicht

Definitie en inleiding
Eigenschappen
   2.1. Twee cirkels / Lima�on van Pascal (cardio�de)
   2.2. Twee rechte lijnen
   2.3. Rechte lijn en cirkel / Strofo�den / Trisectrix van Maclaurin / Concho�den
Referenties
Download

1. Definitie en inleiding

Definitie
Gegeven zijn twee (kromme) lijnen K en L, en een vast punt O.
Zij X een willekeurig punt op K en. m de lijn door O en X. Zij Y het (een snijpunt) van m met L.
De meetkundige plaats van de punten A₁ en A₂ op m met
OA₁ = OA₂ = XY
is de cisso�de van K en L met pool O.

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: acisso1).

Opmerkingen
[1]
Meestal wordt slechts dat punt A bekeken, waarvoor geldt dat A = t(O) en dat t de translatie is over de vector XY (in de figuur is dat het punt A₁).

[2]
Als L en m meerdere snijpunten hebben, dan labelen we de snijpunten als Y₁, Y₂, ... en de beeldpunten bij de translatie als A₁, A₂, ...
[einde Opmerkingen]

Het is ook mogelijk het cisso�de-proces toe te passen op een enkele kromme lijn L (mits de lijn door O twee of meer snijpunten heeft met L.
Hierbij wordt het punt X met alle voorkomende snijpunten Y_i verbonden.
In de figuur hiernaast staat als voorbeeld de cisso�de van een cirkel met pool O.

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: cissoide1C).

2. Eigenschappen

2.1. Twee cirkels

acisso4.gif (3836 bytes)

De cisso�de van twee cirkels bestaat in het algemeen uit ovalen van verschillende vorm, lemniscaten, en druppelvormige kromme lijnen.

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: cissoideC2).

Hiernaast staat de cissoide van twee concentrische cirkels met middelpunt L.
Merk op, dat de delen niet-samenhangend zijn en dat de meetkundige plaats van A₁ (schijnbaar?) overgaat in de meetkundige plaats van A₂ en omgekeerd.

De cisso�de van twee concentrische cirkels waarbij de pool samenvalt met het centrum, bestaat uit twee cirkels met de pool als middelpunt.

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: cissoide2ConC).

Sommige algebra�sche krommen kunnen met een cisso�de-proces worden gegenereerd.

Lima�on van Pascal

In de figuur hiernaast is een cisso�de bepaald door twee inwendig rakende cirkels, waarbij de pool O samenvalt met het middelpunt van de kleinste cirkel.
Het punt Y1 (met t(O) = A1) bepaalt nu de Lima�on (slaklijn) van Pascal (de lijn wordt in dit geval ook wel cardio�de of hartlijn genoemd).

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: limacon).

Opmerkingen
[1]
De lima�on kan ook worden voortgebracht door een cirkel uitwendig rakend te laten rollen over een tweede even grote cirkel. Elk punt van de rollende cirkel beschrijft dan een lima�on.
De algemene naam voor een kromme die op deze manier wordt voortgebracht is epicyclo�de.
Klik hier

voor toelichting met een CabriJavapplet (figuur: limacon2).
[2]
De lima�on (cardio�de) kan ook worden voortgebracht door een zogenoemd stangenmechanisme (Eng. linkage).
Klik hier

voor twee illustrerende CabriJavapplets (figuren: cardlink1 en cardlink2).
Voor andere stangenmechanismen zie verder Referenties.

[3]
De hartlijn kan ook worden voortgebracht door uit te gaan van een vast punt A en een variabel punt X op de cirkel.
De meetkundige plaats van het snijpunt Y van de raaklijn in X aan de cirkel en de loodlijn uit A op de raaklijn is dan de hartlijn.

Klik hier

voor een CabriJavapplet (figuur: limacon3d)

Opmerking
Het punt A kan natuurlijk "buiten" de cirkel te liggen.
We krijgen in dat geval een lijn die eveneens lima�on wordt genoemd.
Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: limacon3x)
[einde Opmerkingen]

2.2. Twee rechte lijnen

acisso6.gif (2516 bytes)

De cisso�de van twee snijdende rechte lijnen K en L is een hyperbool (met de lijn L als �en van de asymptoten).

Ligt de pool op K, dan valt de cisso�de samen met K.

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: cissoide2L).

De cisso�de van twee evenwijdige lijnen K en L is een rechte lijn (evenwijdig met K en L).

2.3. Rechte lijn en cirkel

	In het algemene geval wijkt de vorm van de cissoide bij een lijn K en een cirkel L niet af van die voor twee cirkels (immers de lijn K is op te vatten als een cirkel met "oneindig" grote straal). In de figuur hiernaast is K een rechte lijn en L een cirkel.
	In de figuur hiernaast is K een cirkel en L een rechte lijn. Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: cissoide1C1L).

Vanuit historisch oogpunt is de onderstaande ligging van pool en rechte lijn van belang.

In de figuur hiernaast raakt de lijn L aan de cirkel K.
Het punt O is het tegenpunt van het raakpunt aan de cirkel.

De meetkundige plaats heet cisso�de van Diokles.
Diokles (vermoedelijk eind 2e eeuw, begin 1e eeuw vChr.) heeft deze kromme lijn gebruikt bij het oplossen van het Delisch probleem (de verdubbeling van de kubus).
Zie verder de webpagina "Cissoide van Diokles" (oa. voor CabriJavapplets).

Ligt het punt O ergens anders op de cirkel dan is er sprake van een scheve cisso�de.

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: acisso10b).

Strofo�den

Als de lijn L de cirkel K snijdt en O op de cirkel ligt, worden de kromme lijnen strofo�de genoemd.

De linker figuur heet scheve strofo�de; de rechter figuur heet strofo�de van Newton (rechte strofo�de). Bij de laatse gaat de lijn L door het middelpunt van K.

Klik hier

voor een CabriJavapplet (figuur: strofoide).

Een andere bijzondere strofo�de is de trisectrix van Maclaurin (Colin Maclaurin, 1698-1746, Schotland).

L gaat hierbij door het midden van het lijnstuk KO.
Kiezen we nu een punt P op de "lus" van de strofo�de, dan is
PED = 3POD.
Met deze strofo�de kan dus het probleem van de trisectie van een hoek worden opgelost (zie webpagina "Trisectie").
Nb.
Het punt E ligt op 2/3 van OD.
Het punt D is het beeld van C bij het cisso�de-proces.

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: maclaurin1_m)

acisso13b.gif (3000 bytes)

De trisectrix van Maclaurin kan ook ontstaan als zogenoemde voetpuntskromme.
De kromme is namelijk ook de meetkundige plaats van de voetpunten van de loodlijnen uit het punt F ' op de raaklijnen in een willekeurig punt X van een parabool.
Het punt F ' is dan het spiegelbeeld van het brandpunt F in de richtlijn (met voetpunt D) van de parabool.
Opmerking
Gemakkelijk is nu in te zien, dat DF ' = 2DO.
[einde Opmerking]

Concho�den

Ligt het punt O op de loodlijn op de lijn L door het middelpunt van K (en niet op de cirkel), dan worden de kromme lijnen concho�de genoemd.

Valt de pool samen met het middelpunt van K dan heet de kromme lijn concho�de van Nicomedes
Zie ook Opmerking 2.

Klik hier

voor een CabriJavapplet (figuur: conchoide).

Opmerkingen
[1]
De concho�de wordt vaker voortgebracht op de volgende manier.

Een punt X wordt verplaatst over een rechte lijn loodrecht op de lijn OB.
De punten Y1 en Y2 hebben een vaste afstand k tot X.
De meetkundige plaats van de punten Y1 en Y2 is een concho�de.

Klik hier voor een CabriJavapplet (figuur: conchoide2).

[2]
De concho�de van Nicomedes kan worden gebruikt bij het (niet-Euclidisch) oplossen van het "Trisectie-probleem van een hoek".
Zie de pagina "Over de trisectie van een hoek" (met CabriJavapplet).
[einde Opmerkingen]

3. Referenties
Voor referenties zie de webpagina "Cisso�de van Diokles".

Voor stangenmechanismen zie ook Peaucellier-cel en Rotator van Sylvester.

4. Download
De meeste Cabri-figuren op deze pagina en de figuren die gebruikt zijn bij de CabriJavapplets, kunnen in �en bestand via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand, ca. 18kB).

[acisso.htm] laatste wijziging op: 25-01-03