Algemene cisso´den

Overzicht ][ Cisso´de van Diokles | Meetkunde | Analyse


0. Overzicht terug

  1. Definitie en inleiding cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Eigenschappen
       2.1. Twee cirkels / Limašon van Pascal (cardio´de) cabrisignal.gif (160 bytes)
       2.2. Twee rechte lijnen
    cabrisignal.gif (160 bytes)
       2.3. Rechte lijn en cirkel / Strofo´den / Trisectrix van Maclaurin / Concho´den
    cabrisignal.gif (160 bytes)
  3. Referenties
  4. Download

1. Definitie en inleiding terug

acisso1.gif (2603 bytes)
Definitie
Gegeven zijn twee (kromme) lijnen K en L, en een vast punt O.
Zij X een willekeurig punt op K en. m de lijn door O en X. Zij Y het (een snijpunt) van m met L.
De meetkundige plaats van de punten A1 en A2 op m met
   OA1 = OA2 = XY
is de cisso´de van K en L met pool O.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: acisso1).

Opmerkingen
[1]
Meestal wordt slechts dat punt A bekeken, waarvoor geldt dat A = t(O) en dat t de translatie is over de vector XY (in de figuur is dat het punt A1).

acisso2.gif (2304 bytes) [2]
Als L en m meerdere snijpunten hebben, dan labelen we de snijpunten als Y1, Y2, ... en de beeldpunten bij de translatie als A1, A2, ...
[einde Opmerkingen]
acisso3.gif (2650 bytes) Het is ook mogelijk het cisso´de-proces toe te passen op een enkele kromme lijn L (mits de lijn door O twee of meer snijpunten heeft met L.
Hierbij wordt het punt X met alle voorkomende snijpunten Y i verbonden.
In de figuur hiernaast staat als voorbeeld de cisso´de van een cirkel met pool O.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: cissoide1C).

2. Eigenschappen terug

2.1. Twee cirkels terug

acisso4.gif (3836 bytes)

De cisso´de van twee cirkels bestaat in het algemeen uit ovalen van verschillende vorm, lemniscaten, en druppelvormige kromme lijnen.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: cissoideC2).

acisso5.gif (4925 bytes) Hiernaast staat de cissoide van twee concentrische cirkels met middelpunt L.
Merk op, dat de delen niet-samenhangend zijn en dat de meetkundige plaats van A1 (schijnbaar?) overgaat in de meetkundige plaats van A2 en omgekeerd.

De cisso´de van twee concentrische cirkels waarbij de pool samenvalt met het centrum, bestaat uit twee cirkels met de pool als middelpunt.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: cissoide2ConC).

Sommige algebra´sche krommen kunnen met een cisso´de-proces worden gegenereerd.

acisso5b.gif (2922 bytes) Limašon van Pascal terug

In de figuur hiernaast is een cisso´de bepaald door twee inwendig rakende cirkels, waarbij de pool O samenvalt met het middelpunt van de kleinste cirkel.
Het punt Y1 (met t(O) = A1) bepaalt nu de Limašon (slaklijn) van Pascal (de lijn wordt in dit geval ook wel cardio´de of hartlijn genoemd).

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: limacon).

acisso5c.gif (2614 bytes) Opmerkingen
[1]
De limašon kan ook worden voortgebracht door een cirkel uitwendig rakend te laten rollen over een tweede even grote cirkel. Elk punt van de rollende cirkel beschrijft dan een limašon.
De algemene naam voor een kromme die op deze manier wordt voortgebracht is epicyclo´de.
Klik hier Animatie voor toelichting met een CabriJavapplet (figuur: limacon2).
[2]
De limašon (cardio´de) kan ook worden voortgebracht door een zogenoemd stangenmechanisme (Eng. linkage).
Klik hier Animatie voor twee illustrerende CabriJavapplets (figuren: cardlink1 en cardlink2).
Voor andere stangenmechanismen zie verder Referenties.
 
acisso5d.gif (3694 bytes) [3]
De hartlijn kan ook worden voortgebracht door uit te gaan van een vast punt A en een variabel punt X op de cirkel.
De meetkundige plaats van het snijpunt Y van de raaklijn in X aan de cirkel en de loodlijn uit A op de raaklijn is dan de hartlijn.
newy.gif (116 bytes)Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: limacon3d)

Opmerking
Het punt A kan natuurlijk "buiten" de cirkel te liggen.
We krijgen in dat geval een lijn die eveneens limašon wordt genoemd.
newy.gif (116 bytes)Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: limacon3x)
[einde Opmerkingen]

2.2. Twee rechte lijnen terug

acisso6.gif (2516 bytes)

De cisso´de van twee snijdende rechte lijnen K en L is een hyperbool (met de lijn L als Úen van de asymptoten).

Ligt de pool op K, dan valt de cisso´de samen met K.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: cissoide2L).

acisso7.gif (2392 bytes) De cisso´de van twee evenwijdige lijnen K en L is een rechte lijn (evenwijdig met K en L).

2.3. Rechte lijn en cirkel terug

acisso8.gif (2956 bytes) In het algemene geval wijkt de vorm van de cissoide bij een lijn K en een cirkel L niet af van die voor twee cirkels (immers de lijn K is op te vatten als een cirkel met "oneindig" grote straal).

In de figuur hiernaast is K een rechte lijn en L een cirkel.

acisso9.gif (2860 bytes) In de figuur hiernaast is K een cirkel en L een rechte lijn.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: cissoide1C1L).

Vanuit historisch oogpunt is de onderstaande ligging van pool en rechte lijn van belang.

acisso10.gif (2785 bytes) In de figuur hiernaast raakt de lijn L aan de cirkel K.
Het punt O is het tegenpunt van het raakpunt aan de cirkel.

De meetkundige plaats heet cisso´de van Diokles.
Diokles (vermoedelijk eind 2e eeuw, begin 1e eeuw vChr.) heeft deze kromme lijn gebruikt bij het oplossen van het Delisch probleem (de verdubbeling van de kubus).
Zie verder de webpagina "Cissoide van Diokles" (oa. voor CabriJavapplets).

acisso10b.gif (2826 bytes) Ligt het punt O ergens anders op de cirkel dan is er sprake van een scheve cisso´de.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: acisso10b).

acisso11a.gif (2745 bytes) acisso11b.gif (3028 bytes) Strofo´den terug

Als de lijn L de cirkel K snijdt en O op de cirkel ligt, worden de kromme lijnen strofo´de genoemd.

De linker figuur heet scheve strofoţde; de rechter figuur heet strofo´de van Newton (rechte strofo´de). Bij de laatse gaat de lijn L door het middelpunt van K.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: strofoide).  

Een andere bijzondere strofo´de is de trisectrix van Maclaurin (Colin Maclaurin, 1698-1746, Schotland). terug

acisso13.gif (4346 bytes) L gaat hierbij door het midden van het lijnstuk KO.
Kiezen we nu een punt P op de "lus" van de strofo´de, dan is
PED = 3POD.
Met deze strofo´de kan dus het probleem van de trisectie van een hoek worden opgelost (zie webpagina "Trisectie").
Nb.
Het punt E ligt op 2/3 van OD.
Het punt D is het beeld van C bij het cisso´de-proces.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: maclaurin1_m)

acisso13b.gif (3000 bytes)

De trisectrix van Maclaurin kan ook ontstaan als zogenoemde voetpuntskromme.
De kromme is namelijk ook de meetkundige plaats van de voetpunten van de loodlijnen uit het punt F ' op de raaklijnen in een willekeurig punt X van een parabool.
Het punt F ' is dan het spiegelbeeld van het brandpunt F in de richtlijn (met voetpunt D) van de parabool.
Opmerking
Gemakkelijk is nu in te zien, dat DF ' = 2DO.
[einde Opmerking]
acisso12a.gif (3427 bytes) acisso12b.gif (3328 bytes) Concho´den terug

Ligt het punt O op de loodlijn op de lijn L door het middelpunt van K (en niet op de cirkel), dan worden de kromme lijnen concho´de genoemd.

Valt de pool samen met het middelpunt van K dan heet de kromme lijn concho´de van Nicomedes
Zie ook Opmerking 2.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: conchoide).

Opmerkingen
[1]
De concho´de wordt vaker voortgebracht op de volgende manier.

acisso14.gif (2897 bytes) Een punt X wordt verplaatst over een rechte lijn loodrecht op de lijn OB.
De punten Y1 en Y2 hebben een vaste afstand k tot X.
De meetkundige plaats van de punten Y1 en Y2 is een concho´de.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet (figuur: conchoide2).

[2]
De concho´de van Nicomedes kan worden gebruikt bij het (niet-Euclidisch) oplossen van het "Trisectie-probleem van een hoek".
Zie de pagina "Over de trisectie van een hoek" (met CabriJavapplet).
[einde Opmerkingen]

3. Referenties terug
Voor referenties zie de webpagina "Cisso´de van Diokles".

Voor stangenmechanismen zie ook Peaucellier-cel en Rotator van Sylvester.

4. Download terug
De meeste Cabri-figuren op deze pagina en de figuren die gebruikt zijn bij de CabriJavapplets, kunnen in Úen bestand via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand, ca. 18kB).


begin pagina
[acisso.htm] laatste wijziging op: 25-01-03