Middelloodlijnen bij vierhoeken

Middelloodlijnen bij een vierhoek

Overzicht ][ Middelloodlijn | Meetkunde


Overzicht terug

  1. Middelloodlijnen
  2. Een serie vierhoeken

1. Middelloodlijnen terug
Bij een willekeurige driehoek snijden de middelloodlijnen van de zijden elkaar in een punt (zie de pagina "Middelloodlijn").
Dit is ook het geval bij een koordenvierhoek (zie de pagina "Koordenvierhoeken").

We onderzoeken hieronder de middelloodlijnen van de zijden van een vierhoek die geen omcirkel heeft.

mvierh1.gif (4389 bytes) De middelloodlijnen snijden elkaar in het algemeen in vier punten.
A' is het snijpunt van de middeloodlijnen van AB en AD, B' dat van BA en BC, enz.

We bewijzen

Stelling 1
De buitenhoeken van A'B'C'D' zijn gelijk aan de overeenkomstige hoeken van ABCD.

Bewijs:
De vierhoek gevormd door A en A' en de middens van de zijden AB en AD is een koordenvierhoek, zodat daarin
A + A' = 180.
Evenzo bij de andere hoeken. Waaruit het gestelde direct volgt

Stelling 2
De hoeken tussen de diagonalen in ABCD en in A'B'C'D' zijn gelijk.

Bewijs:

mvierh2.gif (5059 bytes) Voor het punt A' geldt: A'A = A'B en A'A = A'D.
Zodat A'D = A'B
A' ligt dus op de middelloodlijn van BD ......(1)
Voor het punt C' geldt: C'B = C'C en C'C = C'D.
Zodat C'B = C'D.
C' ligt dus eveneens op de middelloodlijn van BD ......(2)
Uit (1) en (2) volgt:
A'C' is de middelloodlijn van DB.
Zo is B'D' de middelloodlijn van AC.
De hoek tusssen AC en BD is dus gelijk aan de hoek tussen A'C' en B'D'.

2. Een serie vierhoeken terug
We kunnen ook de middelloodlijnen tekenen van de zijden van A'B'C'D'.
Dit levert:

Stelling 3
Bij een niet-koordenvierhoek A0B0C0D0 vormen we de vierhoek A1B1C1D1 bepaald door de middelloodlijnen van de zijden. Van deze laatste vierhoek doen we dat opnieuw, enzovoorts. In de rij van vierhoeken AiBiCiDi zijn de vierhoeken met  i = 0, 2, 4, ... gelijkvormig; die met   i = 1, 3, 5, ... eveneens.

Bewijs:

mvierh3.gif (5952 bytes) Voor A1B1B1D1 en A2B2B2D2 geldt uiteraard ook Stelling 1.
De hoeken van de vierhoeken A0B0C0D0 en A2B2C2D2 zijn dus gelijk.
Uit de constructie volgt voorts dat de overeenkomstige zijden van die vierhoeken evenwijdig zijn, immers
B1 en D1 zijn middelpunten van de omcirkels van A0B0C0 en C0D0A0, waardoor B1D1 middelloodlijn is van A0C0.
Evenzo is (bijvoorbeeld) A2C2 middelloodlijn van B1D1, zodat
A2C2 // A0C0.
Waardoor ook de diagonalen van A0B0C0D0 en A2B2C2D2 evenwijdig zijn.
Deze vierhoeken zijn dus gelijkvormig (gelijkstandig, homothetisch).
Enzovoorts...
(Met dank aan Darij Grinberg.)

begin pagina
[mvierh.htm] laatste wijziging op: 16-01-04