Negenpuntcirkel (eenvoudig bewijs)

Negenpuntscirkel

Bewijs  ][  Stelling van Feuerbach | Meetkunde


Zie ook: Cabri-werkblad / Negenpuntscirkel

Over de Negenpuntscirkel

Stelling
De middens van de zijden, de voetpunten van de hoogtelijnen en de middens van de "bovenste stukken" van de hoogtelijnen van een driehoek liggen op een cirkel.

Onderstaand volgt een bewijs van deze stelling gebaseerd op gelijkvomigheid en de macht van een punt tov. een cirkel (zie ook de pagina "Over de cirkel van Feuerbach...").

Bewijs:

feuerb3_1.gif (4219 bytes) Aa is het voetpunt van de hoogtelijn uit A, Am is het midden van de overstaande zijde van A, H is het hoogtepunt, A1 is het midden van AH ("bovenste stuk van de hoogtelijn"); etc.
Nu is: BCCa ~ BAAa
BAa : BCa = BA : BC = BCm : BAm
BAa BAm = BCa BCm
Aa, Am, Ca, Cm zijn concyclisch
Verder is: CHAa ~ CBCa
CH : CAa = CB : CCa
CC1 : CAa = CAm : CCa
CC1 CCa = CAa CAm

C1 ligt op de cirkel door Ca, Aa, Am
Met andere woorden: Aa, Am, Ca, Cm, C1 zijn concyclisch.
Analoog: Aa, Am, Ca, Cm, A1 zijn concyclisch.
Zodat: Aa, Am, Ca, Cm, A1, C1 zijn concyclisch.
Analoog: Aa, Am, Ba, Bm, A1, B1 zijn concyclisch.
En hieruit vinden we: Aa, Am, A1, Ba, Bm, B1, Ca, Cm, C1 zijn concyclisch.


Terug naar de pagina "Over de cirkel van Feuerbach ..."

begin pagina
[feuerbach3.htm] laatste wijziging op: 19-10-07