Geconjugeerde driehoeken

Overzicht van de stellingen  ][  Pool en poollijn | Meetkunde


Zie ook het Cabri-werkblad "Pool en poollijn bij een cirkel".

Overzicht van de stellingen
We herhalen eerst de definitie van de pagina "Pool en poollijn".

Definities
Twee driehoeken heten geconjugeerd (ten opzichte van een cirkel) als de hoekpunten van de ene driehoek de polen zijn van de zijden van de andere driehoek.
Een driehoek heet zelfgeconjugeerd (tov. een cirkel) als elk hoekpunt de pool is van de overstaande zijde.

Het begrip "(zelf)geconjugeerd" is in het onderstaande steeds vastgelegd ten opzichte van één bepaalde cirkel.

Stelling 1 : Als A en B twee geconjugeerde punten zijn, en C is de pool van AB, dan is ABC een zelfgeconjugeerde driehoek. cabrisignal.gif (160 bytes)
Stelling 2 : [1] Het hoogtepunt van een zelfgeconjugeerde driehoek valt samen met het middelpunt van de cirkel.
[2] Een zelfgeconjugeerde driehoek is noodzakelijkerwijs stomphoekig.
Stelling 3 : [1] Bij een stomphoekige driehoek bestaat precies één cirkel ten opzichte waarvan die driehoek zelfgeconjugeerd is.
Deze cirkel heet ook wel poolcirkel van de driehoek.
[2] De straal van de poolcirkel is gelijk aan (HA . HD)1/2, waarbij H het hoogtepunt en D het voetpunt van de hoogtelijn uit A is.
Stelling 4 : De inverse van de omcirkel van een stomphoekige driehoek met betrekking tot diens poolcirkel is de negenpuntscirkel van die driehoek.
  
Stelling 1
Als A en B twee geconjugeerde punten zijn, en C is de pool van AB, dan is ABC een zelfgeconjugeerde driehoek

Bewijs: zie figuur 1.

figuur 1  conjug1.gif (1528 bytes) AB is poollijn van C; A ligt op de poollijn van C.
Dus  C ligt op de poollijn van A.
Maar ook B ligt op de poollijn van A (geconjugeerden).
Dus: BC is de poollijn van A
AB is poollijn van C; B ligt op de poollijn van C
Dus C ligt op de poollijn van B.
Maar ook A ligt op de poollijn van B (geconjugeerden
Dus: AC is de poollijn van B.
Samen met "C is de pool van AB" geeft dit het gestelde. ¨

Klik hier Animatie voor een animatie van de constructie van een geconjugeerde driehoek

Stelling 2
[1] Het hoogtepunt van een zelfgeconjugeerde driehoek valt samen met het middelpunt van de cirkel.
[2] Een zelfgeconjugeerde driehoek is noodzakelijkerwijs stomphoekig.

Bewijs: zie figuur 2.

figuur 2  conjug2.gif (1980 bytes) [1]
De poollijn van A staat loodrecht op OA (definitie van poollijn).
Dus
   BC ^ OA.
De poollijn van B staat loodrecht op OB en de poollijn uit C staat loodrecht op OC.
We hebben dus ook:
   AC ^ OA en AB ^ OC
O is dus het hoogtepunt van driehoek ABC
[2]
Elk punt van de paren (A, P), (B,Q), (C, R) ligt aan dezelfde kant van O (definitie van de poollijn).
Driehoek ABC is dus stomphoekig.
(Merk op, dat C het hoogtepunt is van de scherphoekige driehoek OAB). ¨
Stelling 3
[1] Bij een stomphoekige driehoek ABC bestaat precies één cirkel ten opzichte waarvan die driehoek zelfgeconjugeerd is.
Deze cirkel heet ook wel poolcirkel van de driehoek.
[2] De straal van de poolcirkel is gelijk aan (OC . OR)1/2, waarbij O het hoogtepunt (orthocentrum) en R het voetpunt van de hoogtelijn uit C is.

Bewijs: zie figuur 2.
[1]
Zij r de straal van de poolcirkel. Uit de definitie van de pool volgt dan
   r2 = OP . OA = OQ . OB = OR . OC
Aangezien O, P, A vaste punten zijn bij de gegeven driehoek is dus de waarde van r ondubbelzinnig bepaald. Er is dus slechts één poolcirkel.
[2] Volgt onmiddellijk door worteltrekking uit bovenstaande betrekking. ¨

Opmerking

figuur 3  conjug3.gif (691 bytes)

We kunnen de straal van de poolcirkel uitdrukken in de elementen van driehoek ABC.
Eenvoudig is in te zien, dat hoek ROC = hoek B.
Stellen we verder AC gelijk aan b, dan vinden we:
   AR = b cosa en CR = b sina.
Voor OR vinden we uit tanb = AR / OR:
   OR = b cosa / tanb = b cosa cosb / sinb

Zodat
   
waarin R de straal is van de omcirkel van driehoek ABC.
We hebben dus
   
[einde Opmerking]

Stelling 4
De inverse van de omcirkel van een stomphoekige driehoek met betrekking tot diens poolcirkel is de negenpuntscirkel van die driehoek.

Bewijs: zie figuur 4.

figuur 4  conjug4.gif (3306 bytes) Bij de inversie ten opzichte van de poolcirkel hebben we:
   P is het beeld van het punt A
   Q is het beeld van het punt B
   R is het beeld van het punt C.
Het beeld van de omcirkel van driehoek ABC is dus de omcirkel van driehoek PQR.
P, Q, R zijn de voetpunten van de hoogtelijnen van driehoek ABC.
De omcirkel van PQR is dus de negenpuntscirkel (cirkel van Feuerbach) van driehoek ABC. ¨

begin pagina
[conjug.htm] laatste wijziging op : 15-11-2005