Hyperbolische meetkunde [10]: een halfvlak-model

Pagina-overzicht  ][  Complexe afbeeldingen  |  Meetkunde

vorige Vorige  begin Begin 

Overzicht

  1. Een functie die de disk afbeeldt op een halfvlak
         1.1. De functie en het beeld van de disk
         1.2. d-Middellijnen cabrisignal.gif (160 bytes)
         1.3. d-Lijnen cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Enkele eigenschappen cabrisignal.gif (160 bytes)

1. Een functie die de disk afbeeldt op een halfvlak
1.1. De functie en het beeld van de disk
Het is via een MŲbius transformatie mogelijk de disk van het Poincarť-model van de hyperbolische meetkunde af te beelden op een deel van het complexe vlak.
In dit geval bekijken we de afbeelding van de disk op het deel van het vlak met Im(z) > 0.

We gebruiken daartoe de MŲbius-transformatie:
  

Hieruit zien we onmiddellijk
   G(0) = i
   G(1) =
   G(-1) = 0
   G(i) = (i - 1) / (1 - i) = -1
Voor reŽle a hebben we nu G(a) = i (1+a) / (1-a).
De reŽle as van de disk (met |a| < 1) wordt dus afgebeeld op het positieve deel van de imaginaire as.

Voor punten z = a+bi op de horizon geldt: a2 + b2 = 1.
Nu is:

De waarde van G(z) is dus in dit geval reŽel. De horizon wordt dus afgebeeld op de reŽle as.

figuur 1 hypm_011.gif (811 bytes) We hebben
   G(1) =
   G(i) = i(1 + i) / (1 - i) = (i - 1)/(1 - i) = -1
   G(-1) = 0
De "bovenhorizon" wordt dus afgebeeld <-, 0]; de "onderhorizon" op [0, >.
Uit de oriŽntatie op de cirkel (tegenwijzerichting) volgt dat de disk wordt afgebeeld op het bovenhalfvlak.
De oneigenlijke punten van d-lijnen hebben dus punten op de reŽle as als beeld.
De reŽle as is dus in dit model de horizon.

1.2. d-Middellijnen
We hebben reeds gezien dat G(0) = i.

figuur 2 hypm_012.gif (1882 bytes) Middellijnen van de disk worden dus afgebeeld op halve cirkels door z = i, waarvan het middelpunt op de x-as ligt, met uitzondering van de "reŽle" middellijn.
Deze wordt afgebeeld op de halve rechte door O loodrecht op de x-as.
Voor de "imaginaire" middellijn hebben we
G(i) = -1
G(0) = i
G(-i) = i(1 - i)/(1 + i) = (i + 1)/(1 + i) =   1
Het beeld is dan de "bovenhorizon".

Klik hier animatie voor een animatie van figuur 2.

1.3. d-Lijnen

figuur 3 hypm_013.gif (1618 bytes) d-Lijnen uit het disk-model van Poincarť worden in het algemeen afgebeeld op halve cirkels waarvan het middelpunt op de x-as ligt., echter met uitzondering van de d-lijnen die E als oneigenlijk punt hebben. Deze laatste d-lijnen worden afgebeeld op halve lijnen loodrecht op de x-as.

Klik hier animatie voor een animatie van figuur 3.

2. Enkele eigenschappen
De hyperbolische meetkunde in het bovenhalfvlak heeft veel eigenschappen die overeenkomen met die in het disk-model:

Voorbeelden

figuur 4 hypm_014.gif (3020 bytes) [1]
Hiernaast is AB een willekeurige d-lijn en P een willkeurig d-punt.
Door P zijn de beide lijnen getekend die parallel zijn aan AB.
De beelden van deze figuren onder de afbeelding G hebben dezelfde eigenschappen.

Klik hier animatie voor een animatie van figuur 4.

figuur 5 hypm_015.gif (2933 bytes) [2]
Driehoek ABC is een regelmatige d-driehoek.
Ook is de omgeschreven cirkel van ABC getekend. Deze cirkel is Euclidisch.
De omgeschreven cirkel van driehoek A'B'C' is eveneens een Euclidische cirkel.

Klik hier animatie voor een animatie van figuur 5.

figuur 6 hypm_016.gif (1607 bytes) In figuur 6 is:
   E: z = 1
   P: z = i
Het punt A ligt op de horizon.
Verder is
   E' = G(E) =
Driehoek AEP wordt dus afgebeeld op een "oneindige" strook.

Klik hier animatie voor een animatie van figuur 6.

[einde Voorbeelden]


begin pagina

vorige Vorige  begin Begin 

[hypm01.htm] laatste wijziging op: 03-06-2000