Stelling 3 - Lijn van Steiner

Bewijs  ][  Lijn van Steiner  |  DK & Meetkunde


Bewijs
We willen dus bewijzen:

Stelling
Het spiegelbeeld van het brandpunt van een parabool in een raaklijn aan die parabool ligt op de richtlijn van die parabool.

Bewijs:
We bewijzen de stelling in de omgekeerde richting (zie figuur 1).

figuur 1 We verbinden het punt P met het brandpunt F en trekken de lijn PQ loodrecht op de richtlijn r. Uit de definitie van de parabool weten we nu, dat PF = PQ.
We bewijzen nu, dat de middelloodlijn l van FQ de raaklijn is in het punt P.

We nemen nu aan, dat de lijn l de parabool in een tweede punt R (dat dus verschillend is van P) snijdt (in de figuur ligt P niet op de parabool!)
Dat l raaklijn is volgt uit de overweging, dat nu voor R geldt:
  RF = RQ immers R ligt op de middelloodlijn van FQ.
Maar RQ > RS (in een rechthoekige driehoek). We hebben dus een tegenspraak!
R ligt dus niet op de parabool.

Dus l is raaklijn aan de parabool.

Opmerking
Op de in het bewijs aangegeven manier kunnen we dus bij gegeven brandpunt en richtlijn op eenvoudige wijze de raaklijn in een punt van een parabool construeren.
[einde Opmerking]

Terug naar de tekst


begin pagina

[steiner3.htm] laatste wijziging op: 23-03-1999