Pi volgens Archimedes

Overzicht  ][  Geschiedenis | Meetkunde


Zie ook de pagina "Oppervlakte van een cirkel"
Zie ook de pagina "Benaderingen van Pi"

0. Overzicht

  1. Inleiding
  2. Archimedes' benadering
  3. Een andere benadering
  4. Snellere convergentie

1. Inleiding
Van een verloren gegaan boek "De meting van de cirkel" van Archimedes van Syracuse (287-211 vC)  is een deel met drie belangwekkende proposities bewaard gebleven. Deze proposities luiden:

Propositie I
De oppervlakte van een cirkel is gelijk aan (die van) een rechthoekige driehoek waarvan de hoogte gelijk is aan de straal van de cirkel en de basis gelijk aan de omtrek van de cirkel.
(In formule: O =  . R . 2pRpR 2).
Propositie II
De oppervlakte van een cirkel verhoudt zich tot het kwadraat van de diameter als 11 en 14.
(Of, voor R = 1 geldt: 31/7 : 4 = 22 : 28 =  11 : 14)
Propositie III
De verhouding van de omtrek van een cirkel en zijn diameter is kleiner dan 31/7 en groter dan 310/71.

Opmerkingen
[1]
De tekst van propositie II is onvolledig, en daarbij komt dat het bewijs afhangt van propositie III.
We zullen ons in paragraaf 2 allleen bezighouden met de berekeningen van Archimedes, die tot het resultaat leiden als vermeld in Propositie III.
[2]
Leonard Euler (1707-1783, Zwitserland) heeft voorgesteld de verhouding tussen omtrek en middellijn van de cirkel aan te geven met p  (in Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1739, vol. IX).
[einde Opmerkingen]

Allereerst geven we een Hulpstelling

Hulpstelling 1:     piarchi_f1.gif (1174 bytes)

Bewijs:
Het bewijs is niet afkomstig van Archimedes. Hij vermeldt het bovenstaande en gebruikt het zonder meer als uitgangspunt voor de berekeningen die leiden tot Propositie III.
Mogelijk maakte hij gebruik van de volgende formule (die vermoedelijk niet onbekend was in zijn tijd):
   piarchi_f2.gif (1628 bytes)
Nb.
     a2 is dus het kleinste kwadraat onder of boven a2 + b.
[einde Nb.]
Kiezen we a = 2 en b = 1 (en het min-teken), dan volgt uit deze formule
   
5 is dus een benadering voor 27. Met a = 5 en b = 2 (en het plus-teken) hebben we dan
   
26 is nu een benadering van (152 . 3) = 675. Met a = 26 en b = 1 (met een min-teken) vinden we
   
waaruit via deling door 15 volgt
    

2. Archimedes' benadering voor pi:  piarchi_f8.gif (1041 bytes)

We volgen hieronder min of meer de tekst van Archimedes, echter voorzien van noodzakelijk commentaar.

Archimedes gaat eerst uit van een om de cirkel beschreven regelmatige 6-hoek. Deze raakt in het punt A aan de cirkel met middelpunt O en straal 1.
De halve zijde van de 6-hoek is AC. Hoek AOC is dus gelijk aan het derde deel van een rechte hoek (30 zeggen wij).
Daarna deelt hij deze hoek vier keer midden door en krijgt daardoor een regelmatige 96-hoek (zie figuur 1).

figuur 1 piarchi1.gif (2955 bytes) Nu is
   OA : AC = (3 : 1) > 265 : 153 (zie Hulpstelling 1)
en
   OC : CA = 2 : 1 = 306 : 153
Omdat OD bissectrice is van hoek AOC, geldt voor de verhouding van de stukken:
   CO : AO = CD : AD
zodat
   (CO + AO) : AO = (CD + AD) : AD
   (CO + AO) : AO = CA : AD
   (CO + OA) : CA = AO : DA zodat
   OA : AD > 571 : 153
Archmedes berekent nu verder
OA2 : AD  =   (OA2 + AD2) : AD2
 >   (5712 + 1532) : 1532
 =   349450 : 23409

Daarom, zegt Archimedes, is OD : DA > 5911/8 : 153
(aangezien de wortel uit 349450 groter is dan 5911/8; Archimedes geeft deze verklaring niet).
Zoals een ondergrens gevonden is voor OD : DA uit OC : CA en de ondergrens van OA : AC, zo kunnen we dit ook doen voor een ondergrens van OA : AE en OE : AE uit grenzen van OD : DA rn OA : AD; enzovoorts.
Dit geeft uiteindelijk een ondergrens voor OA : AG.

Ook voor de ingeschreven veelhoek wordt door Archimedes eenzelfde serie benaderigen gegeven (zie figuur 2).

figuur 2  piarchi2.gif (2839 bytes) ABC is een halve cirkel, waarbij hoek BAC gelijk is aan een derde van een rechte hoek. Deze hoek wordt ook vier keer middendoor gedeeld. Hierna is BG een zijde van de ingeschreven 96-hoek.
Nu zijn de driehoeken ADB, BDd, ACd gelijkvormig.
Dus:
   AD : DB = BD : Dd = AC : Cd
en
   AC : Cd = AB : Bd (immers Ad is bissectrice)
zodat
   AD : DB = (AB+AC) : (Cd+Bd) = (AB+AC) : BC
Maar AC : BC  < 1351 : 780 (zie Hulpstelling 1)
en BA : BC = 2 : 1 = 1560 : 780.

Dus: AD : DB < 2911 : 780, zodat
   AB2 : DB2 = (29112 + 7802) : 7802 = 9082321 : 608400
Dus, zegt Archimedes, ook nu zonder toelichting,
   AB : BC < 3013 : 780

Er ontstaan zo doende dus twee rijen getallen a1, a2, ..., an en b1, b2, ..., bn, die beide als volgt zijn opgebouwd:
   a1 = a0 + b0, a2 = a1 + b1, ...
waarbij b1 = (a12 + c2), b2 = (a22+c2), ...
met a0 = 265, b0 = 306, c = 153 voor de omgeschreven cirkel
en   a0 =1351, b0 = 1560, c = 780 voor de ingeschreven cirkel.
De waarden die Archimedes vindt, zijn opgenomen in de volgende tabel

n    omgeschreven
veelhoek
an bn c    ingeschreven
veelhoek
an bn c
0 6 265 306 153 6 1351 1560 780
1 12 571 (5712+1532)
> 5911/8
153 12 2911 (29112+7802)
< 30133/4
780
2 24 11621/8 (11621/82+1532)
> 23391/4
153 24 59123/4
1823
(zie Opmerking 1)
(18232 + 2402)
< 18389/11
780
240
3 48 23341/4 (23341/42+1532)
> 23391/4
153 48 36619/11
1007
(zie Opmerking 1)
(10072 + 662)
< 10091/6
240
66
4 96 46731/2 153 96 20161/6 (20161/62+662)
< 20171/4
66

Opmerkingen
[1]
Archimedes vereenvoudigt de verhouding a2 : c met de factor 4/13 en de verhouding a3 : c met de factor 11/40 alvorens verder te rekenen.
[2]
Bij geen van de afschattingen van de wortels in bovenstaande tabel geeft Archimedes uitleg over de gevonden waarde.
We kunnen echter aannemen, dat hij gebruik maakte van de formule (a b)2 = a2 2ab + b2.
[einde Opmerkingen]

Bij de omgeschreven veelhoek is de laatste verhouding a4 : c gelijk aan de verhouding OA : AG = 2OA : GH (GH in figuur 1 is de zijde van de 96-hoek);  bij de ingeschreven veelhoek is de verhouding b4 : c gelijk aan AB : BG (BG in figuur 2 is de zijde van de 96-hoek).
Zodat we uiteindelijk vinden
   

Archimedes leidt hieruit zonder meer uit af, dat  piarchi_f8.gif (1041 bytes)    

Opmerking
Mogelijk heeft Archimedes de waarde 31/7 afgeleid uit het feit, dat piarchi_f9.gif (1542 bytes).
De waarde 310/71 is wellicht gevonden als deel van de kettingbreuk voor .
[einde Opmerking]

3. Een iets andere benadering
Uit de lengte van de zijde van een regelmatige n-hoek (die om- of ingeschreven is) kunnen we eenvoudig de lengte van de zijde van de 2n-hoek afleiden (zie figuur 3).

figuur 3  piarchi3.gif (1780 bytes) AB = 2t is de zijde van de omgeschreven n-hoek.
CD = 2s is de zijde van de ingeschreven n-hoek.
Nu is
DP = t' de halve zijde van de omgeschreven 2n-hoek (P op BM).
DM = 2s' is de zijde van de ingeschreven 2n-hoek.
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken BDP en BMO volgt nu
   PD : PB = OM : OB
of
   t' : (t - t') = OM : OB
Verder is
ND : MB = OD : OB = OM : OB = s : t

Zodat
    s / t = t' / (t - t')
waaruit volgt t' = ts / (t + s) .....(1)
Uit de gelijkvomigheid van de driehoeken CMD en DPM volgt
   CM : CD = DP : DM
of
   2s' : 2s = t' : 2s'
waaruit st' = 2 (s')2 ..... (2)
Stellen we nu a gelijk aan de omtrek van de ingeschreven veelhoek en b gelijk aan die van de omgeschreven veelhoek en a' en b' die van de bijbehorende 2n-hoek, dan is dus
   a = n . 2s en a' = 2n . 2s'
   b = n . 2t en b' = 2n . 2t'
Hieruit kunnen we dus recursieve betrekkingen vinden tussen a', b', a en b (door eliminatie van n, s, s', t, t' uit bovenstaande betrekkingen):
Nu is s' = a'/4n en t' = b' / 4n
Substitutie in (1) geeft b' / 4n = (ab /4n2) / (b/2n + a/2n) oftewel
   b' = 2ab / (a + b)
Substitutie in (2) geeft
a/2n . b'/4n = 2a' 2/4n2 oftewel a' 2 = ab', zodat
   a' = (ab')
We zijn hiermee in staat opvolgende benaderingen voor p te berekenen (beginwaarden: a = 3, b = 23)
     6-hoek:    a = 3.000000000, b = 3.464101615
   12-hoek:    a = 3.105828542, b = 3.215390310
   24-hoek:    a = 3.132628614, b = 3.159659942
   48-hoek:    a = 3.139350204, b = 3.146086216
   96-hoek:    a = 3.141031952, b = 3.142714600

Klik hier voor de berekening van deze waarden met behulp van Maple V.

Opmerking
Bovenstaande berekeningsmethode staat ook bekend onder de naam Borchardt-Pfaff algorithme.
[einde Opmerking]

4. Snellere convergentie

Hulpstelling 2
2xy / ( x + y ) < (xy)
of
het harmonisch gemiddelde van twee getallen is kleiner dan het meetkundig gemiddelde.

Bewijs:
Uit (x - y)2 > 0 volgt 2(xy) < x + y. Vermenigvuldiging met (xy)/(x + y) geeft de betrekking als vermeld in de stelling.

Voor de in paragraaf 3 gevonden betrekkingen
(1)   b' = 2ab / (a + b)
(2)   a' = (ab')
vinden we nu op basis van Hulpstelling 2:
(1a)   b' < wrt(ab), zodat b' 2 < ab
Uit (2) geschreven als a' 2 = ab', vinden we met (1a), na vermenigvuldiging van beide leden: a' 2b' 2 < a2bb' of a' 2b'  < a2b.
Schrijven we 3(a2b) = B en 3(a' 2b') = B', dan staat er dus  B' < B.
Op basis van Hulpstelling 2 en (2) vinden we
(2a)   a' > 2ab' / (a + b'), zodat 2 / a' < (a + b')/ab' = 1/a + 1/b'.
We hebben echter ook de betrekking 2/b' = (a + b)/ab = 1/a + 1/b (deze volgt uit (1)).
Tellen we deze relatie bij die in (2a) op, dan staat er:
   
Schrijven we A = 3ab / (2b+a) en B' = 3a'b' / (2b' + a'), dan blijkt hieruit, dat A' > A.
Zij nu O de omtrek van de cirkel, dan geldt A < O < B.
Gebruiken we de waarden A, A' en B, B' nu recursief dan vinden we voor de benadering van p, weer uitgaande van dezelfde startwaarden a = 3, b = 23 als in paragraaf 3:
     6-hoek:    A = 3.000000000, B = 3.464101615
   12-hoek:    A = 3.140237344, B = 3.147345190

   24-hoek:    A = 3.141509994, B = 3.141927919

Klik hier voor de berekening van deze waarden met behulp van Maple V.

We zien dus dat nu bij de benadering via de regelmatige 12-hoek reeds 2 significante decimalen gevonden worden (dit was bij de methode in paragraaf 3 pas bij de regelmatige 96-hoek het geval)..


begin pagina

[piarchi.htm] laatste wijziging op: 15-07-2000