Ontbinden in factoren

Distributieve eigenschap | Ontbinden  ][  DK en Algebra


1. Distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging terug
Voor de rekenkundige bewerkingen x en + binnen de verzameling van de reŽle getallen geldt de distributieve eigenschap
   a x (b + c) = ab + ac
en vanwege de commutativiteit van de vermenigvuldiging geldt ook
   (b + c) x a = ba + ca = ab + ac
We kunnen dit fraai illustreren met de volgende figuur, waarin we oppervlaktes van rechthoeken met elkaar vergelijken.

figuur 1         rechthoek met zijden
a en b+c
een rechthoek met zijden a en b
en een rechthoek met zijden a en c
ontb1a.gif (503 bytes) ontb1b.gif (806 bytes)

Lezen we de distributieve eigenschap van rechts naar links, dan spreken we ook wel van ontbinden in factoren.
De optelling ab + ac is geschreven als een vermenigvuldiging met behulp van de factoren a en b+c.

Passen we de distributieve eigenschap twee keer toe op de uitdrukking
     (a + p) x (b + q)
dan krijgen we
     (a + p) x (b + q) = (a+p)b + (a+p)q = ab + pb + aq + pq

Ook nu kunnen we dit eenvoudig inzien met oppervlaktes:

figuur 2         rechthoek met zijden
a+p en b+q
rechthoeken met zijden
a,b en p,b en a,q en p,q
ontb2a.gif (677 bytes) ontb2b.gif (954 bytes)

2. Ontbinden in factoren terug

2.1. Standaard ontbinding, merkwaardige producten terug

Definitie
Ontbinden in factoren is het schrijven van een uitdrukking als een product (vermenigvuldiging) met factoren ongelijk 1.

In paragraaf 1 hebben we de volgende ontbindingen reeds leren kennen:

I         ab + ac = a(b + c)
ab + ac + ad = a(b + c + d) -
deze ontbindingen heten standaard ontbindingen
II ab + pb + aq + pq = a(b+q) +p(b+q) = (a + p)(b + q)

Opmerking
Bij de standaard ontbindingen spreekt men van een "echte" ontbinding, indien de termen van de haakjesvorm geen gemeenschappelijke factoren hebben.
Voorts geldt min of meer bij afspraak, dat er in de haakjesvorm geen breuken voorkomen.
[einde Opmerking]

Voorbeelden
10a2b2 - 1/5ab2c = 1/5ab2 (50a - c)
3/5a3x3 - 1/10a2x2 +3/4ax =1/20ax(12a2x2 - 2ax + 15)
90x3 + 40x2y2 - 126xy - 56y3 = 10x2(9x + 4y2) - 14y2(9x + 4y2) = 2(5x2 - 7y2)(9x + 4y2)
[einde Voorbeelden]

We leiden hieronder nog enkele belangrijke producten, de merkwaardige producten, en de daarbij behorende ontbindingen af.

(a + b)2 = (a+b)(a+b) = (a+b)a + (a+b)b = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (zie figuur 3, links)
(a - b)2 = (a-b)(a-b) = (a-b)a - (a-b)b = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 (zie figuur 3, rechts)
(a - b)(a + b) = (a-b)a + (a-b)b = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2 (zie figuur 4)

figuur 3 

ontb3.gif (2994 bytes)


figuur 4 
ontb4.gif (1160 bytes) De oppervlakte van de grijze rechthoek hiernaast is:
   (a - b)(a + b)
Maar deze is ook gelijk aan
   a(a + b) - ab - b2 = a2 - b2

Lezen we bovenstaande betrekkingen weer van rechts naar links dan vinden we

IIIa     a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
IIIb a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
IV a2 - b2 = (a - b)(a + b)

De betrekkingen I t/m IV worden gebruikt om mogelijke ontbindingen in factoren (snel) te herkennen.

2.2. Ontbinden van een kwadratische vorm terug

V       a2 + (p+q)a + pq = (a + p)(a+q)
figuur 5  ontb5.gif (1374 bytes) Uit figuur 5 zien we dat deze ontbinding juist is.
In voorkomende gevallen behoeft men slechts de laatste term pq (bij rangschikking naar afdalende machten) in twee factoren te ontbinden, die samen de cofactor zijn van de eerste macht.

Voorbeelden
[1] x2 + 7x + 12
+12 = (+3)(+4); (+3) + (+4) = +7
x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
[2] x2 + 7x - 30
-30 = (-3)(+10); (-3) + (+10) = +7
x2 + 7x - 30 = (x - 3)(x + 10)

Deze vorm kan, indien het aantal ontbindingen van pq (in twee factoren) groot is, ook op een andere manier worden behandeld.
We bekijken dan in eerste instantie alleen de eerste twee termen (de termen met een x) en vullen deze aan tot een volledig kwadraat.

[3]
x2 + 12x - 864 = (x2 + 12x + 36) - 36 - 864 = (x + 6)2 - 900 = (x + 6 - 30)(x + 6 +30) = (x - 24)(x + 36)

[einde Voorbeelden]

(wordt voortgezet)


begin pagina

[ontbinden.htm] laatste wijziging op: 11-02-2001