Benaderen van vierkantswortels

Meetkunde  |  Formule  |  Algemeen | Andere methodes  ][  Rekenen


1. Meetkunde begin pagina
Uitgaande van een rechthoek waarvan de zijden de lengte a en 1 hebben kunnen we door "herhaald aanpassen" van de lengtes van die zijden benaderingen van vierkantswortels vinden.

Voorbeeld
We gaan uit van een rechthoek met oppervlakte 5.
We willen deze rechthoek veranderen in een vierkant met dezelfde oppervlakte.
Bekijk de volgende tabel:

zijde-1 (a) zijde-2 (b) gemiddelde van zijde-1 en zijde-2 decimaal
1      5 1 (5+1) / 2 = 3 3,00000
2 3 5/3 (3 + 5/3) / 2 = 7/3 2,33333
3 7/3 5 / (7/3) (7/3 + 15/7) /2 = 74/21 2,23810
4 94/42 5 / (94/42) (94/42 + 210/94) / 2 = 2207/987 2,23607
5 2207/987 5 / (2207/987) (2207/987 + 4935/2207) / 2 = 4870847/2178309 2,23607

In deze tabel is zijde-2 (b) telkens zo "aangepast" aan zijde-1 (a), dat de oppervlakte van de rechthoek gelijk is aan 5 (ab = 5).
De aanpassing van de rechthoek vindt plaats door van de zijden a en b het gemiddelde te nemen (zie 3e kolom)
De 4e kolom geeft de decimale vorm van de breuk in de 3e kolom.
Na een bepaald aantal herhalingen (zie rij 5) verandert de waarde in de 4e kolom niet meer.
We hebben dan dus: (2,23607)2 5.

figuur 1 In nevenstaande figuur is een dergelijk procd (men noemt het ook wel een iteratieproces) in beeld gebracht.
Begonnen is met de bovenste rechthoek.
Alle rechthoeken hebben dezelfde oppervlakte.
De onderste rechthoek is (bijna) een vierkant.

2. Formule begin pagina
Wanneer we in de tabel (in paragraaf 1) de oude waarde van zijde a (zijde-1) aangeven met an, dan is dus de waarde van b (de lengte van zijde-2) in dat geval gelijk aan 5 / an.
Voor de nieuwe waarde, an+1, van de zijde a (in de volgende rij van de tabel) geldt dan:
   an+1 = (an + 5 / an) / 2
Hiermee hebben we een zogenoemde recursieve betrekking (ook wel recursieve vergelijking genoemd) verkregen.

In een recursieve betrekking wordt een element (a n+1) uit een rij getallen uitgedrukt in n of meer getallen uit die rij die aan dat element voorafgaan (in dit geval is dat alleen a n).

De rij getallen

   3;   2,33333;   2,23810;   2,23607;   …

geeft nu een steeds nauwkeuriger benadering van 5.

3. Algemeen begin pagina
De recursieve betrekking

   x n+1 = (x n + a / x n) / 2

bepaalt de rij x0, x1, x2, x3, …, x n, x n+1, … , die a benadert.

4. Andere methodes begin pagina
Er zijn natuurlijk ook andere methodes dan de methode die hierboven (in paragraaf 1 ev.) is vermeld
We behandelen
   4.1. methode met interpolatie
   4.2. methode met behulp van de afgeleide

4.1. Interpolatie begin pagina
Weten we (bijvoorbeeld gehele) getallen waartussen de vierkantswortel van een getal gelegen is, dan kunnen we de waarde van de vierkantswortel gemakkelijk benaderen door lineaire interpolatie.

Uitgaande van de grafiek van de functie f(x) = x zien we (in figuur 2):

figuur 2 vierkwort2.gif (7730 bytes) Willen we (bijvoorbeeld)  3 berekenen, dan weten we  1 <  3 <  4.
Dus 1 <  3 < 2.
Voor  3 vinden we dan

 3 = 1 + (3-1)/(4-1)  (2-1) = 1 + 2/3 = 1,666...

Nb.
Deze benadering is altijd kleiner dan de werkelijke waarde!

Algemeen
Weten we
   q1 <  a < q2, met q1 =  p1 en q2 =  p2
dan is (benaderd)

    a = (a-p1)/(p2-p1)  (q2 - q1)

4.2. Afgeleide begin pagina
Voor een (differentieerbare) functie y = f(x) geldt voor elke x (en voor kleine h, maar wat is 'klein' in dit geval?):
   f '(x) = D y / D x = D y / h
of
   D y = h   f '(x)
en dus
   f (x+h) = f (x) + h   f '(x
Hebben we nu: x = p, waarbij q =  p (met bijvoorbeeld p zo, dat q geheel is), dan is dus
voor y =  x met y ' = 1/(2 x):

    (p + h) =  p + h  1/(2 p)

Voorbeeld
 85 =  (81+4) = 9 + 4  1/(2  9) = 9 + 2/9 = 9,222... (en beter benaderd: 85 = 9,2195...).


begin pagina

[vierkwort.htm] laatste wijzigingen op: 18-07-11