Cirkelsector en cirkelsegment

Cirkelsector en cirkelsegment

Overzicht  ][  Meetkunde | Analyse

Overzicht terug

  1. Inleiding
  2. Betrekkingen en berekeningen
  3. Oppervlakte met integraalrekening
  4. Referenties

1. Inleiding terug

cirksect1.gif (2791 bytes)
Definitie
Een cirkelsector is een deel van het cirkeloppervlak ingesloten door een cirkelboog en de beide stralen naar de eindpunten van die cirkelboog.
Een cirkelsegment is een deel van het cirkeloppervlak ingesloten door een cirkelboog en de koorde tussen de eindpunten van die cirkelboog.

Nb.
Beide vlakdelen zijn met bovenstaande definitie niet eenduidig bepaald.

De middelpuntshoek op de cirkelboog wordt meestal aangegeven met de Griekse letter q (th�ta). Daarbij geldt dan : 0 < q � p.
Is q = p dan spreken we meestal van een halve cirkel.

cirksect2.gif (2656 bytes) Verdere naamgeving:
k - lengte van de koorde
s - lengte van de cirkelboog
h - hoogte van het segment (ook van het segmentdeel van de sector)
d - afstand van het middelpunt van de cirkel tot de koorde
R - straal van de cirkel

2. Betrekkingen en berekeningen terug
We hebben nu de volgende betrekkingen tussen de verschillende elementen:

R  = h + d            
s = Rq immers, s / (2pR) = q / (2p)
d = R cos(�q) volgt uit hoekeigenschappen (goniometrie)
= �k cot(�q) volgt uit hoekeigenschappen (goniometrie)
= �(R2 - 1/4 k2) volgens de stelling van Pythagoras
k = 2R sin(�q) volgt uit hoekeigenschappen (goniometrie)
= 2d tan(�q) volgt uit hoekeigenschappen (goniometrie)
= 2�(R2 - d2) volgens de stelling van Pythagoras
= 2�(2Rh - h2) voor d = R - h is R2 - d2 = R2 - (R2 - 2Rh + h2) = 2Rh - h2 
q  =  s / R            volgt uit s = Rq 
= 2arcsin(k/(2R)) volgt uit k = 2R sin(�q)
= 2arccos(d/R) volgt uit d = R cos(�q)
= 2arctan(k/(2d)) volgt uit k = 2d tan(�q)

Voor de oppervlakte V(sector) en V(segment) hebben we de volgende formules:

V(sector) = �Rs            immers V(sector) = s / (2pR) . pR2 (verhouding tussen omtrek en oppervlakte)
= �R2q volgt uit s = Rq
V(segment) = V(sector)-V(driehoek) nu geldt: V(driehoek) = �R2sin(q)
= �R2(q - sinq) immers uit de vorige regel volgt:  V(segment) = �R2q - �R2sin(q)
= �(Rs - kd) immers s = Rq en V(driehoek) = �kd
= R2arccos(d/R) - d�(R2 - d2) immers V(sector) = �R2q met q = 2arccos(d/R)
= R2arccos((R - h)/R) - (R - h)�(2Rh - h2) immers d = R - h
= R2arcsin( k/(2R) ) - �kd volgt uit V(segment) = �Rs - �kd en s = Rq  = 2Rarcsin( k/(2R) )

3. Oppervlakte met integraalrekening terug
We kunnen de oppervlaktes ook met behulp van de integraalrekening afleiden.

Oppervlakte sector

cirksect3.gif (2684 bytes) Voor driehoek OAB met rechte hoek A (zie figuur hiernaast) geldt: AB � Dq, zodat
V(OAB) = �R . Dq.
Waaruit volgt:
cirksectf1.gif (1104 bytes)
Deze formule hebben we hierboven eenvoudiger gevonden.

Oppervlakte segment

cirksect4.gif (3262 bytes) Zij p = �k.
Dan geldt voor V(Segment):
cirksectf2.gif (1475 bytes)
We berekenen de eerste term van het rechter lid (de integraal) dmv. subsitutie van
x = Rcos(u) met dx = -Rsin(u) . du. We krijgen dan:
cirksectf3a.gif (2731 bytes)

Uitwerking van dit laatste geeft voor de waarde van de integraal, aangegeven met I:
cirksectf3b.gif (2752 bytes)
Wegens cos(arccos(p/R))= p / R en sin(arccos(p/R)) = sin(�p - �q) = cos(�q) = d / R vinden we dan:
cirksectf3c.gif (2174 bytes)
Zodat
cirksectf3d.gif (2053 bytes)
Deze formule hebben we hierboven heelwat eenvoudiger gevonden.

3. Referenties terug

[1]      M.R. SPIEGEL, J. LIU: Mathematical Handbook of Formulas and Tables, Schaum's Outline Series (McGraw Hill, New York)
[2] ERIC WEISSTEIN: World of Mathematics - Math World (Wolfram Research) / Segment / Sector
[2] J.C.A. WEVERS: Wiskundig Formularium (PDF-bestand, Nederlands en Engels)

begin pagina
[cirkelsect.htm] laatste wijziging op: 11-11-02