Concurrente middellijnen

1. Inleiding
Inversie kan (uiteraard) vaak worden toegepast bij het bewijzen van meetkundige eigenschappen die te maken hebben met cirkels en lijnen.
Het bewijs van die eigenschappen verloopt daardoor vaak bijzonder eenvoudig.
We geven hieronder een voorbeeld.

Gegeven zijn de elkaar in de punten A en B snijdende cirkels K₁ en K₂.
De middellijn van K₁ door B snijdt K₂ ook in het punt C; de middellijn van K₂ door B snijdt K₁ ook in D.
K₃ is de cirkel door B, C en D.
De lijn door A en het middelpunt van K₃ gaat dan ook door het punt B.

figuur 1

figuur 2

We kiezen het punt B als centrum van inversie, waarvan de inversiecirkel door het punt A gaat.
De cirkels K₁, K₂ en K₃ gaan nu over in rechte lijnen (m₁, m₂, m₃) die elkaar twee aan twee snijden. Deze rechte lijnen vormen dus een driehoek, verder "beelddriehoek" genoemd.
De lijnen BK₁, BK₂ gaan in zichzelf over. Evenals de lijn AK₃.
De lijn BC snijdt de cirkel K₁ loodrecht. BC staat dus ook loodrecht op m₁ (inversie is hoektrouw).
BC is dus hoogtelijn van de beelddriehoek. Dit is ook het geval met BD.
Het punt B is dus hoogtepunt van de beelddriehoek.
Om dezelfde reden staat de lijn AK₃ loodrecht op m₃.

De lijn AK₃ gaat dus eveneens door B. �