Bewijs van Stelling 11

Bewijs van Stelling 11 - een bijzondere eigenschap van een koordenvierhoek

Overzicht ][ Stelling van Van Aubel | Meetkunde

Overzicht

Stelling 11
Bewijs van Stelling 11
Gevolg voor een gelijkbenig trapezium
Bijzondere configuraties
Referenties
Download

1. Stelling 11
Onderstaande stelling, als stelling 11 vermeld op de webpagina "De stelling van Van Aubel", geeft een bijzondere eigenschap van een koordenvierhoek.
Deze hangt samen met de Stelling van Van Aubel voor een willekeurige vierhoek.

Stelling 1 (stelling 11)
De middelpunten van de rechthoeken op de zijden (van een koordenvierhoek), waarvan de tweede zijde gelijk is aan de overstaande zijde van die koordenvierhoek, vormen een rechthoek.

Klik hier voor een CabriJavapplet bij Stelling 1 (deze applet staat ook op de pagina "De Stelling van Van Aubel").

We gaan in eerste instantie op dezelfde manier te werk als bij de Hulpstellingen op de pagina "De Stelling van Van Aubel".
We zullen echter zien, dat dit niet tot het gewenste resultaat leidt.
De stelling, stelling 2, is er echter niet minder fraai om.

figuur 1

Stelling 2
In figuur 1 geldt A'B' _|_ A'C', waarbij B' en C' middelpunten zijn van rechthoeken op de zijden van driehoek ABC, waarvan de tweede rechthoekszijde gelijk is aan de "andere opstaande" zijde van de driehoek, en A' is het midden van AB.

Bewijs:
De punten P en Q zijn de middens van de zijden AB en AC.
AQA'P is dan een parallellogram (middenparallellen).
De driehoeken A'PB' en A'QC' zijn nu gelijkbenig (met tophoek resp. P en Q).

In deze driehoeken is nu:
�P = �Q = 90� + 180� - a = 270� - a (waarbij a de grootte van hoek A is in driehoek ABC).
Elk der basishoeken van deze driehoeken is dan gelijk aan
�(180� - (270� - a)) = �a - 45�
Voor �A' in param AQA'P hebben we dan:
a = x + 2(�a - 45�), waarbij x de grootte is van �B'A'C'
Dus x = 90�. �

Gevolg
Op dezelfde manier bewijzen we, dat �B'NC' (gebruikmakend van driehoek AA_bA_c) een rechte hoek is.
Via congruentieoverwegingen volgt dan, dat A'B'NC' een rechthoek is.
Waaruit dus volgt dat B'C' = A'N (beide lijnstukken zijn in figuur 1 niet getekend)
[einde Gevolg]

Opmerking
Zie ook figuur 5b op deze pagina.
[einde Opmerking]

Ook nu kiezen we een tweede driehoek XBC, die dus BC als zijde heeft.
Deze driehoek kiezen we echter zo, dat hoek X het supplement is van hoek A (ABXC is dan een koordenvierhoek).

figuur 2

In dit geval vinden we (uiteraard?) geen bijzondere eigenschappen in de figuur.
Vergelijk hiermee figuur 14a op de pagina "Stelling van Van Aubel".

Kiezen we echter de tweede zijde van zo'n rechthoek gelijk aan de overstaande zijde van die zijde in de vierhoek, (zoals vermeld in Stelling 1), dan vinden we de eigenschap genoemd in stelling 1 (Stelling 11).

Bewijs van Stelling 1 (Stelling 11)

figuur 3

We bewijzen eerst dat A'B'C'D' een parallellogram is.
A_m, B_m, C_m, D_m zijn de middens van de zijden van de koordenvierhoek.
Nu is dus:
A'A_m = �CD (constructie)
MB_m = �CD (middenparallel in driehoek CBD)
B'B_m = �AD (constructie)
MA_m = �AD (middenparallel in driehoek ABD)
Verder is in driehoek MA_mA':
�A_m = 90� + a (waarbij a de grootte is van hoek A in de kvh).
In driehoek MB_mB' is hebben we
�B_m = 90� + 180� - c = 270� - (180� - a) = 90� + a
De driehoeken MA_mA' en MB_mB' zijn dus congruent.
Waaruit volgt: MA' = MB' ......(1).

Op dezelfde manier bewijzen we, dat MC' = MD' ......(2).
In figuur 3 zijn de hoeken met identieke nummering aan elkaar gelijk (vanwege de congruentie van de driehoeken waartoe ze behoren).
We gebruiken die nummering om de grootte van de hoek aan te geven; bijv. h(2) is de grootte van de hoek aangegeven met een 2.
�A'MD' = a + h(2) + h(4).
Nu is

a + h(2) + h(4)	=	a + (90� - a - h(1)) + (90� - a - h(3))
	=	180� - a - h(1) - h(3)
	=	c - h(1) - h(3)

�B'MC' = c - h(1) - h(3).
Dus �A'MD' = �B'MC' ......(3).
Uit (1), (2), (3) volgt dat driehoeken A'MD' en C'MB' congruent zijn.
Dus A'D' = C'B'.
Op dezelfde manier kunnen we bewijzen dat A'B' = D'C'.
A'B'C'D' is dus een parallellogram.
Eenvoudig blijkt verder, dat �A'MC' = �B'MD', zodat ook de driehoeken A'MC' en B'MD' congruent zijn.
Dus A'C' = B'D'.
A'B'C'D' heeft dus gelijke diagonalen.
A'B'C'D' is dus een rechthoek. �

2. Gevolg voor een gelijkbenig trapezium

Stelling 3
De middelpunten van de rechthoeken beschreven op de zijden van een gelijkbenig trapezium, waarvan de tweede zijde gelijk is aan de overstaande zijde, vormen een vierkant.

Klik hier voor een CabriJavapplet bij Stelling 3.

Bewijs: (zie figuur 4)

figuur 4

Een gelijkbenig trapezium is een koordenvierhoek.
De rechthoeken op beschreven op de opstaande zijden van het trapezium zijn nu vierkanten.
Daardoor is de gehele figuur lijnsymmetrisch tov. de lijn B'D'.
De rechthoek (volgens stelling 1) heeft dan twee gelijke opvolgende zijden en is dus een vierkant. �

[einde Gevolg]

3. Bijzondere configuraties
In de volgende figuren staan enkele configuraties die gebaseerd zijn op de constructie bij het gelijkbenig trapezium.

figuur 5a		figuur 5b
		Zie ook Stelling 2 op deze pagina.
figuur 5c		figuur 5d

4. Referenties
Zie hiervoor de pagina "Stelling van Van Aubel".

5. Download
Zie de pagina "Stelling van Van Aubel" voor het downloaden van de gebruikte Cabri-figuren.

[vanaubel2.htm] laatste wijziging op: 06-02-01