Kegelsnede en rechte lijn

Overzicht  ][  ProjMeetkunde | CabriMacro's | Meetkunde


Overzicht terug

  1. Snijpunten van een kegelsnede en een rechte lijn cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Macro 1 cabrisignal.gif (160 bytes)
  3. Tweede snijpunt van een lijn en een kegelsnede
  4. Macro 2
  5. Constructie mbv. de Stelling van Pascal (tweede snijpunt met lijn)
  1. Download

1. Snijpunten van een kegelsnede en een rechte lijn terug

figuur 1 pkegel1.gif (2069 bytes) Zij K een kegelsnede.
Zij m een lijn die de kegelsnede snijdt.
S en T zijn twee vaste punten op K. P is een variabel punt op K.
De lijnen PS en PT induceren nu een projectieve afbeelding van m op zichzelf.
De snijpunten X en Y van de lijn en de kegelsnede zijn de dekpunten van deze afbeelding.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Een projectiviteit op een lijn wordt vastgelegd door 3 punten en hun beeldpunten.
Voor het vinden van de snijpunten gaan we daarom uit van twee lijnenbundels {S} en {T} en 3 punten A, B, C van de kegelsnede.

figuur 2 pkegel2.gif (3184 bytes) De lijnen S{A,B,C} en T{A,B,C} bepalen nu een projectieve afbeelding van de punten op de lijn m.
De puntenparen zijn (A1,  A2), (B1, B2) en (C1, C2).
Ook nu zijn de punten X en Y de dekpunten.

2. Macro 1 - macro:ProjectLijn3P-2D terug
We beschrijven vervolgens de Cabri-macro:ProjectLijn3P-2D waarmee we de dekpunten op een lijn m, bij een gegeven drietal punten en hun beeldpunten, kunnen construeren (zie ook Opmerkingen).

Constructie:
figuur 3 pkegel3.gif (5113 bytes) Bij gegeven punten A en A' is m de lijn door deze punten. B, B' en C, C' kunnen dan op m (met PuntOpObject) worden gekozen.
1 - Cirkel(middellijn AB')
2 - PuntOpObject(1) = P
3 - Omcirkel3P(P, A', B) = C1
Omcirkel3P is een standaard Cabri-macro voor de omgeschreven cirkel van een driehoek.
4 - Snijpunt(1, 3) = Q
5 - Omcirkel3P(P, A, C') = C2
6 - Omcirkel3P(P, A', C) = C3
7 - Snijpunt(C1, C2) = R
8 - Omcirkel3P(P, Q, R) = C4

De beginobjecten van de macro zijn (in deze volgorde): de punten A, A', B, B', C, C'.
Het eindobject is: C4 (dus niet de snijpunten van de cirkel en de lijn).

N.B.
Na uitvoering van de macro moeten de dubbelpunten (X, Y) worden geconstrueerd als snijpunten van de lijn en de cirkel (C4).

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van bovenstaande constructie.

Opmerkingen
[1]

Bovenstaande constructie behoort niet tot de projectieve meetkunde. Het begrip 'cirkel' heeft in de projectieve meetkunde geen betekenis: de soort is 'kegelsnede'.
Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet waarin bovenstaande macro is toegepast.
[2]
Er is geen direct zichtbaar verschil tussen de manier waarop Cabri zelf de snijpunten van een lijn en een kegelsnede bepaalt en de manier waarop dit gebeurt met bovenstaande macro.

3. Tweede snijpunt van een lijn en een kegelsnede terug

figuur 4 pkegel4.gif (4433 bytes) Als de lijn m en de kegelsnede een punt gemeenschappelijk hebben, dan wordt door de bundels {S} en {T}wederom een projectieve afbeelding van m opzichzelf geīnduceerd.
In dit geval is die afbeelding vastgelegd door de paren (A, A'), (B, B') en (P, P), waarbij P het gemeenschappelijk punt is.
Het tweede dekpunt van die projectiviteit is dan het tweede snijpunt van de lijn en de kegelsnede.

Zie ook Paragraaf 5 voor een tweede methode.

4. Macro 2 - macro:ProjectLijn2P1D-1D terug
De macro-constructie voor het tweede dekpunt verloopt nu eenvoudiger. In onderstaande constructiebeschrijving is X het gegeven dekpunt.
In de naamgeving van de macro staat ook nu de P voor Paar en de D voor Dekpunt.

figuur 5 pkegel5.gif (3867 bytes) 1. Cirkel(middellijn AB') = C1
2. PuntOpObject(1) = P
3. Omcirkel3P(P, A', B) = C2
Omcirkel3P is een standaard Cabri-macro voor de omgeschreven cirkel van een driehoek.
4. Snijpunt(C1 , C2) = Q
5. Omcirkel3P(P, Q, X) = C3

De beginobjecten van de macro zijn: A, A', B, B', X (in deze volgorde).
Het eindobject is: C3.

N.B.
Na uitvoering van de macro moet het tweede dubbelpunt (Y) geconstrueerd worden als het tweede snijpunt van de lijn m en de cirkel (C3).

5. Constructie mbv. de Stelling van Pascal (tweede snijpunt met lijn) terug
Op basis van de Stelling van Pascal is het eveneens mogelijk het tweede snijpunt van een lijn met een kegelsnede te construeren.

figuur 5 pkegel6.gif (5768 bytes) De kegelsnede wordt bepaald door de punten A (het eerste snijpunt van de lijn m met de kegelsnede) en vier andere punten (in de figuur aangegeven met 2, 3, 4, 5).

Zij X het tweede snijpunt van m met de kegelsnede. Volgens de Stelling van Pascal zijn de snijpunten van de overstaande zijden van de zeshoek A2345X dan collineair.
Dus:
A2 /\ 45 = P, 23 /\ 5X = Q, 34 /\ XA = R liggen op een lijn. Het punt Q kan nog niet gevonden worden, immers X is onbekend, maar XA = m. De collineatie-as is de lijn PR, die de lijn 23 in Q snijdt. Zodat X = 5Q /\ m.

Op basis van deze constructie is de macro:TweedeSnijpuntLijnKegelsnede vastgelegd.

6. Download terug
Klik hier om het bestand te downloaden waarin (bijna) alle op deze pagina staande figuren, en de genoemde macro's zijn opgenomen (ZIP-bestand, ca. 9kB).


begin pagina
[pkegel.htm] laatste wijziging op: 27-12-04