Cirkelstelling van Descartes

Overzicht  ][  Soddy-cirkels  |  Anal.meetkunde |   Geschiedenis  |  Meetkunde


0. Overzicht

  1. Inleiding
  2. Definitie inwendig product, eigenschappen
  3. Bewijs van de Cirkelstelling

1. Inleiding
De Cirkelstelling van Descartes (René Descartes, 1596-1650, Frankrijk) luidt:

Stelling 1
Raken de cirkels Ci, met i = 1...4, elkaar in zes verschillende punten en is de kromming van Ci gelijk aan ki, dan geldt:
   

Nb. Op de pagina "Soddy-cirkels" wordt deze stelling (in een andere vorm) eveneens behandeld.

We zullen hier het bewijs leveren met behulp van de analytische meetkunde.
Daartoe is het noodzakelijk enkele, niet tot de schoolmeetkunde behorende, definities te geven en een enkele eigenschap af te leiden.

2. Definitie inwendige product van twee cirkels en eigenschappen
We gaan uit van de (algemene) cirkelvergelijking
   a(x2 + y2)  - 2px - 2qy + r = 0
of eventueel geïndexeerd
   ai(x2 + y2) - 2pix - 2qiy + ri = 0 (i = 1, 2, ...)

Afspraken
[1]
Voor een genormaliseerde cirkel geldt: ai = 1.
[2]
De "cirkel" met vergelijking 0(x2 + y2)  + 0x + 0y + r = 0 én r ¹ 0 noemen we hier z-cirkel. Deze cirkel geven we aan met Z º 0.
[3]
Met kC bedoelen we de cirkel waarvan alle coëfficiënten vermenigvuldigd zijn met het getal k ¹ 0.
We spreken in dit geval van een gewogen cirkel.

Definitie
Onder het inwendig product van twee cirkels C1 en C2 verstaan we het reële getal
   (C1,C2) = ½(2p1p2 +2q1q2 - r1a2 - r2a1)

Dit inwendig product product voldoet aan alle eigenschappen die we aan een inwendig product stellen, zoals commutativiteit, distributiviteit, enz..

Stelling 2
[1] ... (kC1, C2) = k(C1, C2)
[2] ... (C, C1 + C2 ) = (C, C1) + (C, C2)
[3] ... (C, Z) = - ½ra
[4] ... (Z, Z) = 0

Bewijs:
De eigenschappen [1] en [2] volgen direct uit de vergelijkingen van de betrokken cirkels.
Dat geldt ook voor eigenschap [3], maar daarover maken we na de afleiding nog een opmerking
[3]
(C, Z) = ½(0 + 0 + 0 - ra) = -½r2a1
!!! Nu staat het ons vrij de waarde van r2 vrij, maar ongelijk aan 0, te kiezen.
Als we nu r2 = - 2 (r2 is dus de constante van Z) kiezen voor een genormaliseerde cirkel C, dan geldt dus:
voor iedere genormaliseerde cirkel C:
   (C, Z) = 1

[4] Ook deze eigenschap blijkt uit de vergelijking van Z. ¨

Stelling 3
[1]
(C1, C2) = ½(R12 + R22 - D2)
. R1 en R2 zijn de stralen van de cirkels; D is de afstand van de middelpunten.
[2]

Twee cirkels C1 en C2 snijden elkaar loodrecht desda [C1, C2] = 0.
[3]
Twee cirkels C1 en C2 raken elkaar
- uitwendig
desda (C1, C2) = - R1R2
- inwendig
desda (C1, C2) = + R1R2.
[4]
Zijn C
1 en C2 concentrisch dan is [C1, C2] = ½(R12 + R22).

Bewijs:
Het middelpunt van Ci is (pi, qi). Voor de straal Ri van een genormaliseerde cirkel geldt dus:
   Ri2 = p12 + qi2 - ri.
[1]
Voor de afstand D van de middelpunten hebben we
   D2 = (p1-p2)2 + (q1-q2)2 = p12 + p22 + q12 + q22 - 2p1p2 - 2q1q2 - r1 - r2
   R12 + R22 - D2 = 2p1p2 + 2q1q2 - r1 - r2
zodat
   (C1, C2) = ½(R12 + R22 - D2)
[2]
Voor twee cirkels die loodrecht elkaar loodrecht snijden geldt R12 + R22 = D2.
Dus in dit geval is, volgens stelling 3.1, [C1, C2] = 0.
[3] We bewijzen dit deel slechts éénzijdig (DAN).
Raken de cirkels elkaar uitwendig, dan is R1 + R2 = D, zodat
   (C1, C2) = ½(R12 + R22 - D2) = ½(R12 + R22 - R12 - R22 - 2R1R2) = - R1R2
Raken de cirkels elkaar inwendig, dan is |R1 - R2| = D, zodat
   (C1, C2) = ½(R12 + R22 - D2) = ½(R12 + R22 - R12 - R22 + 2R1R2) = + R1R2
[4]
Voor concentrische cirkels hebben we D = 0. Dus [C1, C2] = ½(R12 + R22).    
¨

3. Bewijs van de Cirkelstelling
We gaan uit van vier genormaliseerde cirkels Ci die we elk wegen met een getal wi.
Raken twee cirkels elkaar uitwendig, dan hebben we (volgens stelling 3): (C1, C2) = -w1w2R1R2.
Raken twee cirkels elkaar inwendig, dan hebben we: (C1, C2) = + w1w2R1R2.

Voor het bewijs passen we een weging toe met het getal wi = ki = 1/Ri (ki is de kromming van een cirkel) en gaan we uit van vier elkaar uitwendig rakende cirkels, dan is dus voor elk tweetal:
   (Ci, Cj) = -1
terwijl
   (Ci, Ci) = 1 (zie stelling 3.4)
We zullen nu getallen pi bepalen, zodat
   p1C1+p2C2+p3C3+p4C4 º Z ...... (1)
Nu is, toegepast op deze uitdrukking:
   (C1, Z) = p1(C1, C1) + p2(C1, C2) + p3(C1, C3) + p4(C1, C4) = p1 - p2 - p3 - p4
Maar ook, volgens stelling 2.3, met r = -2,
   (C1, Z) = k1
Dus:
     p1 - p2 - p3 - p4 = k1 ...... (2.1)
Op dezelfde manier vinden we de relaties
   - p1 + p2 - p3 - p4 = k2 ...... (2.2)
   - p1 - p2 + p3 - p4 = k3 ...... (2.3)
   - p1 - p2 - p3 + p4 = k4 ...... (2.4)
Uit betrekking (1) volgt verder:
(Z, Z) = 0 = p1(C1, Z) + p2(C2, Z) + p3(C3, Z) + p4(C4, Z)
Zodat
   p1k1 + p2k2 + p3k3 + p4k4 = 0 ...... (3)
Kwadratering van de relaties (2.1)...(2.4), gevolgd door optellen geeft:
   4(p12 + p22 + p32 + p42) = k12 + k22 + k32 + k42 ...... (4)
Paarsgewijze vermenigvuldiging, gevolgd door optelling van (2.1)...(2.4) geeft:
   4(p1p2 + p1p3 + p1p4 + p2p3 + p2p4 + p3p4) = k1k2 + k1k3 + k1k4 + k2k3 + k2k4 + k3k ...... (5)
Substitutie van (2.1)...(2.4) in (3) geeft
   (p12 + p22 + p32 + p42) - 2( p1p2 +p1p3 + p1p4 + p2p3 + p2p4 + p3p4) = 0
Zodat we, samen met (4) en (5) vinden:
   k12 + k22 + k32 + k42 = 8 (p1p2 + p1p3 + ...) = 2 (k1k2 + k1k3 + ...) ...... (6)
Het rechterlid van (6) kunnen we herleiden:
   2k1k2 + 2k1k3 + ... = (k1 + k2 + k3 + k4)2 - (k12 +k22 + k32 + k42)
Uit (6) volgt dan
   2(k12 +k22 + k32 + k42) = (k1 + k2 + k3 + k4)2
of ook
  
waarmee de Cirkelstelling van Descartes bewezen is. ¨

_______________
Referentie

D. PEDOE: Geometry, a comprehensive course, Dover Publ. Inc., New York, 1988, pag. 155-158.


begin pagina

[cirkdescartes.htm] laatste wijziging op: 18-07-00