Inleiding algebra

Overzicht ][ DK & Algebra


Overzicht

  1. Variabelen
  2. Uitdrukkingen
  3. Vergelijkingen
  4. Oplossen van een vergelijking
  5. Vereenvoudigen van vergelijkingen
  6. Samennemen van overeenkomstige termen
  7. Vereenvoudigen door optelling en aftrekking
  8. Vereenvoudigen door vermenigvuldiging
  9. Vereenvoudigen door deling
  10. Ingeklede vergelijkingen (woordproblemen)
  11. Rijen

1. Variabelen
Een variabele is een symbool (of een rijtje symbolen, zoals een woord) waarmee een getal wordt aangeduid: "de variabele heeft de waarde 3". Meestal gebruiken we voor variabelen letters uit het laatste deel van het alfabet: u, x, y, z, t.
Voorbeeld
We kunnen zeggen dat de lengte van de zijde van een een vierkant gelijk is s in plaats van te spreken over de werkelijke grootte van die zijde. We kunnen deze s dan gebruiken in formules. De omtrek van het vierkant is in dit geval 4 s, en de oppervlakte is dan s2.
[]

Bij het werken met variabelen is het vaak handig een letter te gebruiken die verband houdt met de waarbij waarvoor hij gebruikt wordt.
Voorbeeld
n is het aantal mensen in een voetbal stadion;
t
(van tijd) is het aantal seconden dat sinds het begin van de voetbalwedstrijd verstreken is;
a (van afstand) is de afstand tussen mijn huis en het stadion

2. Uitdrukkingen
Een uitdrukking is een geheel van termen bestaande uit getallen, variabelen, bewerkingstekens (en andere wiskundige tekens (zoals haakjes):
+ , - ,  ,  : . Hieronder staan enkele voorbeelden van uitdrukkingen

Voorbeeld 1
2
x
3 + 7
 y + 5
2 + 6  (4 - 2)
z + 3  (8 - z)

Voorbeeld 2
Bert weegt 70 kilo en Cor weegt k kilo. Geef een uitdrukking voor hun gezamenlijk gewicht.
Hun gezamenlijk gewicht is nu 70 + k.

Voorbeeld 3
Op een snelweg rijdt een auto met een snelheid van 85 km/uur. Geef een uitdrukking voor de afstand die de auto na h uur heeft afgelegd.
De afgelegde afstand is 85 h

Voorbeeld 4
In een zwembad zit al 2000 liter water. Er wordt water bijgevuld met een snelheid van 100 leter per minuut. Geef een uitdrukking voor de hoeveelheid water in het zwembad als het bijvullen m minuten heeft geduurd.
De hoeveelheid water die wwordt toegevoegd is 100 m. De totale hoeveelheid is dus 2000 + 100 m
[]

De waarde van een uitdrukking kan worden bepaald door de variabele(n) in die uitdrukking te vervangen (dit heet subsitueren) door een getal (de waarde van de variabele) en daarna, indien nodig, te vereenvoudigen.

Voorbeeld 4
Bereken de waarde van de uitdrukking 4  z + 12 als z = 15.
Of ook wel:
Bereken 4  z + 12 voor z = 15.
We vervangen nu z door 15 op elke plaats waar z in de uitdrukking voorkomt. We krijgen dan
4 15 + 12
De verdere vereenvoudiging verloopt volgens de gebruikelijke voorrangsregels (eerst haakjesvormen, dan vermenigvuidging en deling, dan optelling en aftrekking). We schrijven de vereenvoudiging telkens geheel op, gescheiden door het - teken:
4 15 + 12 =
60 + 12 =
72

Voorbeeld 5
Bereken (1 + z)  2 + 12 : 3 - z voor z = 4. We krijgen dan
(1 + z)  2 + 12 : 3 - z =
(1 + 4)  2 + 12 : 3 - 4 =
5  2 + 12 : 3 - 4 =
10 + 4 - 4 =
10.

3. Vergelijkingen
Een vergelijking is een wiskundige vorm waarin twee uitdrukkingen gescheiden zijn door het = teken
Vergelijkingen worden ook gebruikt om de relatie tussen variabelen en getallen aan te geven (zoals hierboven bijvoorbeeld met z = 4).
Daarbij is het niet noodzakelijk, dat de vergelijking daadwerkelijk waar is.
Voorbeeld
Hieronder staat aan aantal vergelijkingen
2 = 2
2 = 17
17 = 2 + 15
x = 7
7 = x
t + 3 = 8
3  n +12 = 100
w + 4 = 12 - w
y - 1 - 2 - 9.3 = 34
3  (d + 4) - 11 = 321 - 23
[]

Vergelijkingen kunnen vaak worden afgeleid uit een stuk tekst. In dit geval spreken we van ingeklede vergelijkingen (ook wel woordproblemen).
"Vertaling" van de tekst in een wiskundige vorm leidt dan tot de gewenste vergelijking.

Voorbeeld
Als Anton's leefttijd in jaren, y, wordt vermeerderd met 20, dan krijg je vier maal zijn leeftijd min 10.
Vertaling
leeftijd = y
leefttijd vermeerderd met 20: y + 20
vier maal zijn leeftijd min 10: 4  y - 10
De beide gevonden uitdrukkingen zijn aan elkaar gelijk. Dit geeft de vergelijking
y + 20 = 4  y - 10

4. Oplossen van een vergelijking
Als een vergelijking een variabele bevat, dan kunnen we trachten de waarde (alle waarden) van de variabele te vinden waardoor er een ware bewering onstaat als we de variabele vervangen door de gevonden waarde(n).
Dit wordt "oplossen van de vergelijking" genoemd.
De waarde van de variabele heet in dit geval de wortel of de oplossing van de vergelijking.

Voorbeeld 1
We zeggen dat y = 3 een oplossing is van de vergelijking 4  y + 7 = 19, omdat substitutie van y = 3 leidt tot
4  3 + 7 = 19 
12 + 7 = 19 
19 = 19
Om samenhang tussen de opvolgende stappen te benadrukken schrijven we dit soms ook als
4  3 + 7 = 19 
12 + 7 = 19 
19 = 19 (en dit is een ware bewering)
We spreken uit als "is gelijkwaardig met" of als "heeft tot gevolg"

Voorbeeld 2
x = 100 is de oplossing van de vergelijking x : 2 - 40 = 10
= 12 is de oplossing van de vergelijking 5  (z - 6) = 30

We kunnen de eerste bewering als volgt bewijzen:
x=100 x : 2 - 40 = 10
100 : 2 - 40 =10
50-40=10 (
en dit is waar)

Tegenvoorbeeld
y = 10 is GEEN oplossing van de vergelijking 4  y + 7 = 19.
We bewijzen ditop dezelfde manier als hierboven:
y = 10 4  y + 7 = 19
4
10 + 7 = 19
47 = 19
(en dit is niet waar)

5. Vereenvoudigen van vergelijkingen
Voor het vinden van een oplossing van een vergelijking kunnen (of zelfs moeten) we gebruik maken van zogenoemde vereenvoudigingsregels. Deze regels hebben in het algemeen te maken met de wijze waarop we met wiskundige uitdrukkingen omgaan. Enkele van deze regels zijn:

Voorbeeld
Het volgende probleem illustreert het samennemen van termen en het aftrekken van een getal van beide kanten van de vergelijking.

Los op: x - 12 + 20 = 37

We kunnen -12 vervangen door +(-12). Dus krijgen we
x + (-12) + 20 = 37
Omdat de optelling associatief is, kunnen we twee van de drie termen in het linkerlid samennemen. We moeten hier -12 en 20 kiezen Dit geeft dan
x + 8 = 37
We tellen nu -8 op bij beide kanten van de vergelijking:
x + 8 + (-8) = 37 + (-8)
x + 0 = 29
x = 29

Voorbeeld
Dit voorbeeld illustreert het gebruik van de distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging over de optelling.

Los op: 2  (x + 1 + 4) = 20

Allereerst kijken we binnen de haakjes. Dit geeft voor de linker kant van de vergelijking
2  (x + 1 + 4)  =  2  (x + 5)
Nu gebruiken we de distributieve eigenschap
2  (x + 5)  =  2  x + 2  5
en voeren de vermenigvuldigingen uit:
2  x + 2  5  = 2x + 10
De vergelijking wordt nu:
2x + 10 = 20
We trekken nu 10 (optellen van -10) af van beide kanten van de vergelijking
2x + 10 + (-10) = 20 + (-10)  
2x + (10 + (-10)) = 20 - 10  
2x + 0 = 10 
2x = 10
Omdat x vermenigvuldigd is met 2, delen we beide kanten door 2 om x te vinden:
2x = 10  
2x  2 = 10  2 
(2x)/2 = 5 
x = 5

6. Samennemen van overeenkomstige termen
De meest gebruikte methode om vergelijkingen te vereenvoudigen is het samennemen van termen van gelijke soort (overeenkomstige termen): numerieke termen en termen met dezelfde variabele.

Voorbeeld
Bekijk de uitdrukking 2 + 7x + 12 - 3x - 5.
De numerieke termen zijn de getallen  2, 12 en 5. Termen die overeenkomen in variabele, zijn 7x and 3x.
Elk type kan nu worden samengenomen (opgeteld).
2 + 12 - 5 = 14 - 5 = 9
7x - 3x = 4x
Dus 2 + 7x + 12 - 3x - 5 = 9 + 4x

7. Vereenvoudigen door optelling en aftrekking
We gebruiken optelling en aftrekking om alle termen met variabelen aan de ene kant van de vergelijking te plaatsen en de numerieke termen aan de andere kant.
Bij de vergelijkingen
3x = 17
21 = y
z/12 = 24
is dat reeds het geval.
Echter niet bij
3x + 4 = 12
21 = 30 - y
(z + 2)  4 = 10

Voorbeelden
Bij 3x + 4 = 12 kunnen we de term met x isoleren door 4 af te trekken
3x + 4 - 4 = 12 - 4  
3x = 8

Bij 7y - 200 = 10 kunnen we de term met y isoleren door 200 op te tellen
7y + (-200) = 10
7y + (-200) + 200 = 10 + 200 
7y = 210

Bij 8 = 20 - z kunnen we eerst z optellen. Dit geeft
8 + z = 20 - z + z   
8 + z = 20; we trekken nu 8 af
8 + z - 8 = 20 - 8 
z = 12

8. Vereenvoudigen door vermenigvuldiging
De oplossing van een vergelijking willen we schrijven in een vorm als
x = 3 of
z = 2001.

Wordt een variabele gedeeld door een getal, dan kunnen we via vermenigvuldiging de waarde van de variabele vinden.

Voorbeeld
Los op: x / 12 = 5

Omdat links de x gedeeld is door 12, is de vergelijking gelijkwaardig met
x  1/12 = 5
We vermenigvuldigen beide kanten van de vergelijking met 12
x  1/12  12 = 5  12  
x  1 = 60  
x = 60

9. Vereenvoudigen door deling
De oplossing van een vergelijking willen we schrijven in een vorm als
x = 3 of
z = 2001.

Wordt een variabele vermenigvuldigd met een getal, dan kunnen we via deling de waarde van de variabele vinden.

Voorbeeld
Los op: 7x = 133.

Omdat de variabele x links vermenigvuldigd is met 7, kunnen we beide kanten van de vergelijking door 7 delen om x te vinden

7x / 7 = 133 / 7 
(7x)/7 = 133 / 7 
x = 19.

Merk op dat delen door 7 hetzelfde is als vermenigvuldigen met 1/7.

10. Ingeklede vergelijkingen (woordproblemen)
Bij het omzetten (vertalen) van ingeklede vergelijkingen (dat zijn vergelijkingen waarvan de opbouw is "verborgen" is in een tekst; vandaar ook de naam woordproblemen) kunnen we via de tekst met behulp van onderstaande tabel de vergelijking opbouwen.

Woord Operatie Voorbeeld Vergelijking
som optelling De som van mijn leeftijd en 10 is 27. y + 10 = 27
verschil aftrekking Het verschil tussen mijn leeftijd en die van mijn jongeren zus, die 11 jaar is, is gelijk aan 5. y - 11 = 5
product vermenigvuldiging Het product van mijn leeftijd en 14 is 168.. y  14 = 168
maal, keer vermenigvuldiging Drie keer mijn leeftijd geeft 60.. 3  y = 60
verminderd met aftrekking Mijn leeftijd verminderd met 7 is 32. y - 7 = 32
totaal optelling Het totaal van mijn spaarpot en 20 gulden is fl. 22,43.. y + 20 = 22,43
meer dan optelling Elf meer dan mijn leeftijd is 43. 11 + y = 43

11. Rijen
Een rij is een lijst met termen (of uitdrukkingen), gescheiden door komma's. De termen van een rij worden ook wel elementen genoemd.
De plaats van een term in een rij geven we vaak aan door het nummer van de plaats in de rij: eerste, tweede, derde, enz.
Bij veel rijen worden de termen opgebouwd via een kenmerkende eigenschap van alle termen
Er zijn twee soorten rijen: eindige rijen en oneindige rijen.
Bij een eindige rij kunnen we het aantal termen tellen; bij een oneindige rij is het aantal termen onbepaald. Aan het eind van een oneidige rij schrijven we ... om aan te geven dat de rij oneiding is.

Voorbeelden van eindige rijen

De rij 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 is zijn de eerste term van de telrij (tafel) van 2
De rij 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 is is de rij van de eerste 10 oneven getallen.
De rij a, e, i, o, u is de rij van klinkers in het alfabet.
De rij m, m, m, m, m, m is een rij bestaande uit 5 letters m
De rij 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 is een rij bestaande uit 12 afisselen geschreven enen en nullen.
De rij 1, 2, 3, 4, ..., 9998, 9999, 10000 is van de eerste tienduizend positieve gehele getallen.
De rij 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 is de rij van de kwadraten van de eerste 8 natuurlijke getallen.

De rij a, 2a, 3a, 4a, 5a, ..., 10a is de telrij (tafel) van a.

Voorbeelden van oneidige rijen

De rij 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... de rij van de even positieve getallen. Het 100ste element in de rij is 200.
De rij a, b, c, a, b, c, a, b, c, a, b, ... is is een rij met de letters a, b, c, waarbij dit patroon steeds herhaald wordt. De 100ste term in is de letter a. Op de 300ste plaats staat de letter c.
De rij 0, -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, … bestaat uit de natuurlijke getallen, afwisselend voorzien van een minteken. De 10de term in de rij is -9. De 100ste de rij is -99. De 101ste term is 100.
De rij 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, ... is a sequence bestaande uit enen, gescheiden door 1 nul, dan 2 nullen, dan 3 nullen, enz.. De 100ste term in deze rij is 0. De 105de term is 1.

De rij 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... rij bestaande uit de plaatsen waarop het cijfer 1 voorkomt in de rij bestaande uit enen en nullen hiervoor. Om deze rij te onderzoeken kunnen we de verschillen van naast elkaar staande termen bekijken
3 - 1 = 2
6 - 3 = 3
10 - 6 = 4
15 - 10 = 5
21 - 15 = 6
28 - 21 = 7
Deze verschillen geven vaak inzicht in de opbouw van de rij.

1, 1, 1, 1, 1, 1, ... is een oneidinge rij bestaande uit louter enen.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... is de rij van "telgetallen". Elke term in de rij geeft eveneens zijn plaats aan in de rij.
a, b, a, b, a, b, a, b, ... een rij bestaande uit afwisselen de letter a en de letter b. De a's staan op de oneven plaatsen; de b's staan op de even plaatsen
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, … is de rij bestaande uit de omgekeerden van de positieve gehele getallen.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... is rij van de kwadraten van de positieve gehele getallen.
a, e, i, o, u, a, e, i, o, u, a, e, ... is een rij bestaande uit een herhaald patroon van de klinkers in het alfabet.
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... is de rij van de getallen beginnend met 4 en telkens vermeerderd met 3.


begin pagina
[algebra-1.htm] laatste wijziging op: 31-03-2003